Ο Thomas M. Cover υπέβαλε την ακόλουθη εκπληκτική ερώτηση το 1987 στο "Open Problems in Communication and Computation": Ο παίκτης \(X\) γράφει δύο διαφορετικούς και τυχαία επιλεγμένους φυσικούς αριθμούς \(A\) και \(B\) σε δύο διαφορετικούς Κομμάτι χαρτί και βάλτε το στραμμένο σε ένα τραπέζι. Ο παίκτης \(Y\) επιλέγει τώρα τυχαία ένα από αυτά τα κομμάτια χαρτιού, βλέπει τον αριθμό και τώρα πρέπει να αποφασίσει εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από τον άλλο αριθμό που είναι ακόμα στραμμένος στο τραπέζι.
Το πρόγραμμα αναπαραγωγής \(Y\) ενδέχεται να μην ανοίξει το κλειστό φύλλο. Αρχικά αφήνει το νόμισμα να αποφασίσει και έτσι βρήκε μια στρατηγική με πιθανότητα νίκης \(50\%\) . Υπάρχει άλλη στρατηγική με μεγαλύτερη πιθανότητα;
Πριν ο παίκτης \(Y\) επιλέξει τυχαία ένα από τα δύο κομμάτια χαρτιού, καθορίζει έναν αυθαίρετο φυσικό αριθμό \(C\) . Στη συνέχεια, γυρίζει τυχαία ένα από τα δύο κομμάτια χαρτιού. Τώρα αποφασίζει ως εξής: Εάν ο ανεστραμμένος αριθμός είναι \( \leq C \) , επιλέγει τον αριθμό στο άλλο κομμάτι χαρτί ως το μεγαλύτερο. αν ο ανεστραμμένος αριθμός είναι \( > C\) , επιλέγει τον αριθμό που μόλις αντιστράφηκε ως ο μεγαλύτερος. Εκπληκτικά, η πιθανότητα νίκης είναι τώρα \( > 50\% \) .
Αρχικά ορίσαμε τον ορισμό των δύο αριθμών σε \(A < B\) . Τότε ακριβώς μία από τις τρεις ακόλουθες περιπτώσεις εμφανίζεται αμέσως μετά την επιλογή του \(C\):
- 1η περίπτωση: \( C \leq A < B \) : Τότε η πιθανότητα νίκης είναι \(50\%\) , καθώς δεν υπάρχει καμία γνώση για τα \(A\) και \(B\) .
- 2η περίπτωση: \( A < B \leq C \) : Τότε η πιθανότητα νίκης είναι \(50\%\) , καθώς δεν υπάρχει καμία γνώση για τα \(A\) και \(B\) .
- 3η περίπτωση: \( A < C < B \) : Τότε η πιθανότητα νίκης είναι \(100\%\) , επειδή εάν το \( B \) γυρίσει πρώτο, κάποιος παραμένει με \( B \) και εάν \(A\) γυρίζει πρώτα, αλλάζετε στο \(B\) , οπότε επιλέγετε πάντα τον μεγαλύτερο αριθμό.
Παραδόξως, αυτή η στρατηγική χρησιμοποιείται επίσης στην καθημερινή ζωή: Για παράδειγμα, εάν πρέπει να αποφασίσετε αμέσως υπέρ ή κατά της αγοράς ενός προϊόντος χωρίς να μπορείτε να λάβετε μια σύγκριση σύγκρισης, ορίζετε εκ των προτέρων ένα οικονομικό όριο. Εάν αυτό το όριο ικανοποιείται από την πραγματική τιμή, η αγορά πραγματοποιείται - αλλιώς όχι.