Следующее предложение известно как «парадокс пьяницы»: «В пабе есть кто-то такой, что, если он или она пьет, все в пабе пьют». Не имеет значения, побуждает ли этот человек пить других или существует какой-то другой черный ход, как мы сейчас увидим. Это хороший пример из математической логики первого порядка.
Начнем с того, что либо все в пабе пьют, либо хотя бы один человек в пабе не пьет. Поэтому уместно следующее различие падежей:
- Все пьют. Тогда, если кто-то пьет в пабе, все в пабе пьют, потому что пьют все.
- По крайней мере один человек не пьет. Для любого непьющего человека верно то, что если он пьет, все в пабе пьют, поскольку этот человек не пьет ( \(A \Rightarrow B\) всегда верно, когда \(A\) ложно).
Формально теорема может быть формализована следующим образом для любого предиката \(D\) и непустого множества \(P\):
$$\exists x\in P.\ [D(x) \Rightarrow \forall y\in P.\ D(y)]$$