关于分支函数的表示法

在函数定义的符号中使用花括号,并区分大小写。 我们追求一个简单的问题,即是否也可以消除这种表示形式,并且可以将功能简化为没有该表示形式的表示形式。 例如功能

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

借助使用单行项的四个基本算术运算?


那是不可能的,我们在连续性的帮助下证明了这一点。

我们考虑序列\((x_n)\)\(x_n = \frac{1}{n}\) 。 对于此序列\( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) 。 另外, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) 。 因此\(f\)在点\(x=0\)处是不连续的\(x=0\)即整体上是不连续的。

由于链接子句的存在,连续函数的和和乘积又是连续的,因此只能借助四个基本算术运算(特别是从不\(f\) )来生成连续函数。

但是,例如,如果允许不连续的符号函数,则可以轻松找到这样的表示法。 然后就是

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

对于具有区分大小写的通用函数\(f\)

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

另一方面,如果您以编程语言查看函数,则可以解析分支。 例如,在PHP中,signum函数可以与:

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\(f\)也可以不带任何if / else控制结构而显示:

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如果您还想不使用比较运算符,则可以更进一步,将自己沉浸在按位运算符的美好世界中:

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背部