Фігурні дужки використовуються при позначенні визначень функцій з різницею регістрів. Ми переслідуємо просте питання, чи можна це представлення також усунути, а функцію звести до позначення, яке обійдеться без нього. Наприклад, функція
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
представити його в одному рядку за допомогою чотирьох основних арифметичних операцій?
Це неможливо, і ми доводимо це за допомогою безперервності.
Ми розглядаємо послідовність \((x_n)\) з \(x_n = \frac{1}{n}\) . Для цієї послідовності \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Крім того \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Це означає, що \(f\) є розривним у точці \(x=0\) і, отже, розривним загалом.
Оскільки сума та добуток неперервних функцій знову неперервні через теореми конкатенації, ви можете генерувати неперервні функції (зокрема, ніколи \(f\) ) лише за допомогою чотирьох основних арифметичних операцій.
Однак, якщо ми дозволимо, наприклад, розривну функцію signum , ми можемо легко знайти такі позначення. Тоді саме
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Для загальної функції \(f\) застосовується різниця регістрів
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
З іншого боку, якщо розглянути функції мов програмування, гілки можна вирішити. Наприклад, у PHP функція signum може бути зіставлена:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) також може відображатися без будь-яких структур керування if / else за допомогою:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Якщо ви також хочете обійтися без операторів порівняння, ви можете піти далі та зануритися у дивовижний світ побітових операторів.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d