Per la skribmaniero de branĉitaj funkcioj

Buklaj krampoj estas uzataj en la skribmaniero de difinoj de funkcioj kun majuskla distingo. Ni traktas la simplan demandon, ĉu ĉi tiu reprezento ankaŭ povas esti forigita kaj la funkcio povas esti reduktita al notacio, kiu malhavas ĝin. Ekzemple, la funkcio

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

kun la helpo de la kvar bazaj aritmetikaj operacioj uzantaj unu-linian terminon?


Tio estas neebla kaj ni pruvas ĝin helpe de kontinueco.

Ni konsideras la sinsekvon \((x_n)\) kun \(x_n = \frac{1}{n}\) . Por ĉi tiu sinsekvo \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Krome, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Do \(f\) estas malkontinua ĉe la punkto \(x=0\) malkontinua entute.

Ĉar la sumo kaj la produkto de kontinuaj funkcioj denove estas kontinuaj pro la ĉenaj subfrazoj, oni povas nur generi kontinuajn funkciojn (t.e. precipe neniam \(f\) ) helpe de la kvar bazaj aritmetikaj operacioj.

Tamen, se ni permesas la malkontinuan signum-funkcion , ekzemple, ni povas facile trovi tian notacion. Tiam nome

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Por ĝenerala funkcio \(f\) kun kazo-distingo validas

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Aliflanke, se vi rigardas funkciojn en programlingvoj, branĉoj povas esti solvitaj. Ekzemple, en PHP la signum-funkcio povas esti mapita per:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) ankaŭ videblas sen iu ajn if / else kontrolstrukturoj kun:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Se vi volas malhavi komparajn operatorojn, vi povas iri unu paŝon pli kaj mergi vin en la belan mondon de bitlarĝaj operatoroj:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Reen