Le parentesi graffe vengono utilizzate nella notazione delle definizioni di funzione con distinzione tra maiuscole e minuscole. Perseguiamo la semplice questione se questa rappresentazione possa anche essere eliminata e la funzione possa essere ridotta a una notazione che ne fa a meno. Ad esempio, la funzione
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
con l'aiuto delle quattro operazioni aritmetiche di base che utilizzano un termine di una riga?
Questo è impossibile e lo dimostriamo con l'aiuto della continuità.
Consideriamo la sequenza \((x_n)\) con \(x_n = \frac{1}{n}\) . Per questa sequenza \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Inoltre, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Quindi \(f\) è discontinuo nel punto \(x=0\) cioè discontinuo nel suo complesso.
Grazie ai teoremi di composizione, la somma e il prodotto di funzioni continue sono a loro volta continui, e si possono generare solo funzioni continue (cioè mai \(f\) ) utilizzando le quattro operazioni aritmetiche di base.
Tuttavia, se permettiamo la funzione di segno discontinuo, ad esempio, possiamo facilmente trovare una tale notazione. Quindi vale a dire
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Per una funzione generale si applica \(f\) con distinzione tra maiuscole e minuscole
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
D'altra parte, se guardi le funzioni nei linguaggi di programmazione, i rami possono essere risolti. Ad esempio, in PHP la funzione signum può essere mappata con:
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\(f\) può anche essere visualizzato senza strutture di controllo if / else con:
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Se desiderate fare a meno anche degli operatori di confronto, potete spingervi oltre ed esplorare il meraviglioso mondo degli operatori bit a bit.:
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