Dấu ngoặc nhọn được sử dụng trong ký hiệu định nghĩa hàm với sự phân biệt chữ hoa và chữ thường. Chúng tôi theo đuổi câu hỏi đơn giản là liệu biểu diễn này cũng có thể bị loại bỏ và hàm có thể được rút gọn thành một ký hiệu không có nó. Ví dụ, hàm
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
biểu diễn nó dưới dạng một dòng bằng cách sử dụng bốn phép tính số học cơ bản?
Điều đó là không thể và chúng tôi chứng minh điều đó với sự trợ giúp của tính liên tục.
Chúng tôi xem xét chuỗi \((x_n)\) với \(x_n = \frac{1}{n}\) . Đối với chuỗi này \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Hơn nữa \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Điều này có nghĩa là \(f\) không liên tục tại điểm \(x=0\) và do đó không liên tục về tổng thể.
Vì tổng và tích của các hàm liên tục lại liên tục do định lý nối, nên bạn chỉ có thể tạo các hàm liên tục (cụ thể là không bao giờ \(f\) ) bằng cách sử dụng bốn phép tính số học cơ bản.
Tuy nhiên, nếu chúng ta cho phép hàm ký hiệu không liên tục, chẳng hạn, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một ký hiệu như vậy. Sau đó, cụ thể là
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Đối với một hàm tổng quát \(f\) có áp dụng phân biệt chữ hoa chữ thường
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Mặt khác, nếu bạn nhìn vào các hàm trong ngôn ngữ lập trình, các nhánh có thể được giải quyết. Ví dụ, trong PHP, hàm signum có thể được ánh xạ với:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) cũng có thể được hiển thị mà không có bất kỳ cấu trúc điều khiển if / else nào với:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Nếu bạn cũng muốn làm mà không cần sử dụng toán tử so sánh, bạn có thể tiến thêm một bước nữa và đi sâu vào thế giới tươi đẹp của các toán tử bitwise:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d