Om noteringen av grenade funktioner

Lockiga parenteser används i beteckningen av funktionsdefinitioner med skillnad mellan olika fall. Vi strävar efter den enkla frågan om denna representation också kan elimineras och funktionen kan reduceras till en notation som klarar sig utan den. Till exempel funktionen

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

med hjälp av de fyra grundläggande aritmetiska operationerna med en en-rads term?


Det är omöjligt och vi bevisar det med hjälp av kontinuitet.

Vi betraktar sekvensen \((x_n)\) med \(x_n = \frac{1}{n}\) . För denna sekvens \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Dessutom \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Så \(f\) är diskontinuerligt vid punkten \(x=0\) dvs. diskontinuerligt totalt.

Eftersom summan och produkten av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga igen på grund av kedjeklausulerna, kan man bara generera kontinuerliga funktioner (dvs. i synnerhet aldrig \(f\) ) med hjälp av de fyra grundläggande aritmetiska operationerna.

Men om vi till exempel tillåter den diskontinuerliga signumfunktionen kan vi lätt hitta en sådan notation. Då nämligen

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

För en allmän funktion \(f\) med fallskillnad gäller

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Å andra sidan, om du tittar på funktioner i programmeringsspråk kan grenar lösas. Till exempel i PHP kan signum-funktionen mappas med:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) kan också visas utan några om / annars kontrollstrukturer med:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Om du också vill göra det utan jämförelseoperatörer kan du gå ett steg längre och fördjupa dig i den vackra världen av bitvisa operatörer:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Tillbaka