Acerca de la notación de funciones ramificadas

Los corchetes se utilizan en la notación de definiciones de funciones con distinción de mayúsculas y minúsculas. Seguimos la simple cuestión de si esta representación también puede eliminarse y la función puede reducirse a una notación que pueda prescindir de ella. Por ejemplo, la función

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

con la ayuda de las cuatro operaciones aritméticas básicas usando un término de una línea?


Eso es imposible y lo demostramos con la ayuda de la continuidad.

Consideramos la secuencia \((x_n)\) con \(x_n = \frac{1}{n}\) . Para esta secuencia \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Además, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Entonces \(f\) es discontinua en el punto \(x=0\) es decir \(x=0\) discontinua en general.

Dado que la suma y el producto de las funciones continuas son continuas nuevamente debido a las cláusulas de encadenamiento, solo se pueden generar funciones continuas con la ayuda de las cuatro operaciones aritméticas básicas (en particular, nunca \(f\) ).

Sin embargo, si permitimos la función signum discontinua, por ejemplo, podemos encontrar fácilmente dicha notación. Entonces a saber

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Para una función general se aplica \(f\) con distinción de mayúsculas y minúsculas

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Por otro lado, si observa funciones en lenguajes de programación, las ramas se pueden resolver. Por ejemplo, en PHP la función signum se puede mapear con:

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\(f\) también se puede mostrar sin ninguna estructura de control if / else con:

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Si desea prescindir de los operadores de comparación, puede ir un paso más allá y sumergirse en el hermoso mundo de los operadores bit a bit.:

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