Los corchetes se utilizan en la notación de definiciones de funciones con distinción de mayúsculas y minúsculas. Seguimos la simple cuestión de si esta representación también puede eliminarse y la función puede reducirse a una notación que pueda prescindir de ella. Por ejemplo, la función
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
¿Representarlo en un término de una línea usando las cuatro operaciones aritméticas básicas?
Eso es imposible y lo demostramos con la ayuda de la continuidad.
Consideramos la secuencia \((x_n)\) con \(x_n = \frac{1}{n}\) . Para esta secuencia \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Además \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Esto significa que \(f\) es discontinuo en el punto \(x=0\) y, por lo tanto, discontinuo en general.
Dado que la suma y el producto de funciones continuas vuelven a ser continuos debido a los teoremas de concatenación, solo puedes generar funciones continuas (en particular nunca \(f\) ) utilizando las cuatro operaciones aritméticas básicas.
Sin embargo, si permitimos la función signum discontinua, por ejemplo, podemos encontrar fácilmente dicha notación. Entonces a saber
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Para una función general se aplica \(f\) con distinción de mayúsculas y minúsculas
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Por otro lado, si observa funciones en lenguajes de programación, las ramas se pueden resolver. Por ejemplo, en PHP la función signum se puede mapear con:
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\(f\) también se puede mostrar sin ninguna estructura de control if / else con:
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Si también quieres prescindir de los operadores de comparación, puedes ir un paso más allá y adentrarte en el maravilloso mundo de los operadores bit a bit.:
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