İşlev tanımlarının gösteriminde büyük / küçük harf ayrımıyla kıvrımlı parantezler kullanılmıştır. Bu temsilin de ortadan kaldırılıp kaldırılamayacağına ve işlevin onsuz bir gösterime indirgenip indirgenemeyeceğine dair basit soruyu araştırıyoruz. Örneğin, işlev
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
Bunu dört temel aritmetik işlemi kullanarak tek satırlık bir terimle ifade edebilir misiniz?
Bu imkansız ve bunu süreklilikle kanıtlıyoruz.
\((x_n)\) dizisini \(x_n = \frac{1}{n}\) ile ele alıyoruz. Bu dizi için \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Ayrıca \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Bu \(f\) \(x=0\) noktasında süreksiz olduğu ve dolayısıyla genel olarak süreksiz olduğu anlamına gelir.
Sürekli fonksiyonların toplamı ve çarpımı birleştirme teoremleri nedeniyle yine sürekli olduğundan, yalnızca dört temel aritmetik işlemi kullanarak sürekli fonksiyonlar (özellikle hiçbir zaman \(f\) üretemezsiniz) oluşturabilirsiniz.
Bununla birlikte, örneğin süreksiz işaret işlevine izin verirsek, böyle bir gösterimi kolayca bulabiliriz. Sonra yani
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Genel bir \(f\) işlevi için büyük \(f\) küçük harf ayrımı geçerlidir
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Öte yandan, programlama dillerindeki fonksiyonlara bakarsanız, dallar çözülebilir. Örneğin, PHP'de signum işlevi ile eşlenebilir:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) herhangi bir if / else kontrol yapısı olmadan da görüntülenebilir.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Siz de operatörleri karşılaştırmadan yapmak istiyorsanız, bir adım daha ileri giderek bitsel operatörlerin güzel dünyasına dalabilirsiniz.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d