Dallanmış işlevlerin gösterimi hakkında

İşlev tanımlarının gösteriminde büyük / küçük harf ayrımıyla kıvrımlı parantezler kullanılmıştır. Bu temsilin de ortadan kaldırılıp kaldırılamayacağına ve işlevin onsuz bir gösterime indirgenip indirgenemeyeceğine dair basit soruyu araştırıyoruz. Örneğin, işlev

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

tek satırlık bir terim kullanan dört temel aritmetik işlemin yardımıyla?


Bu imkansız ve bunu süreklilikle kanıtlıyoruz.

\((x_n)\) dizisini \((x_n)\) \(x_n = \frac{1}{n}\) ile ele alıyoruz. Bu dizi için \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Ek olarak, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Yani \(f\) , \(x=0\) noktasında süreksizdir \(x=0\) yani genel olarak süreksizdir.

Zincirleme cümleleri nedeniyle sürekli fonksiyonların toplamı ve çarpımı tekrar sürekli olduğundan, dört temel aritmetik işlemin yardımıyla yalnızca sürekli fonksiyonlar (özellikle asla \(f\) ) üretilebilir.

Bununla birlikte, örneğin süreksiz işaret işlevine izin verirsek, böyle bir gösterimi kolayca bulabiliriz. Sonra yani

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Genel bir \(f\) işlevi için büyük \(f\) küçük harf ayrımı geçerlidir

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Öte yandan, programlama dillerindeki fonksiyonlara bakarsanız, dallar çözülebilir. Örneğin, PHP'de signum işlevi ile eşlenebilir:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) herhangi bir if / else kontrol yapısı olmadan da görüntülenebilir.:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Karşılaştırma operatörleri olmadan yapmak istiyorsanız, bir adım daha ileri gidebilir ve kendinizi bitsel operatörlerin güzel dünyasına kaptırabilirsiniz.:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Geri