Фигурные скобки используются в обозначениях определений функций с учетом регистра. Мы преследуем простой вопрос, можно ли также исключить это представление и свести функцию к обозначению, которое обходится без него. Например, функция
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
представить его в виде одной строки, используя четыре основных арифметических действия?
Это невозможно, и мы доказываем это с помощью преемственности.
Мы рассматриваем последовательность \((x_n)\) с \(x_n = \frac{1}{n}\) . Для этой последовательности \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Кроме того \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Это означает, что \(f\) разрывно в точке \(x=0\) и, следовательно, разрывно в целом.
Поскольку сумма и произведение непрерывных функций снова непрерывны в силу теорем конкатенации, вы можете генерировать непрерывные функции (в частности, никогда \(f\) ), используя четыре основных арифметических операции.
Однако, если мы допустим, например, разрывную сигнум-функцию , мы можем легко найти такое обозначение. Тогда именно
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Для общей функции \(f\) с разницей в регистре применяется
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
С другой стороны, если вы посмотрите на функции в языках программирования, ветки могут быть разрешены. Например, в PHP функция signum может быть отображена с помощью:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) также может отображаться без каких-либо управляющих структур if / else с:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Если вы также хотите обойтись без операторов сравнения, вы можете пойти еще дальше и погрузиться в удивительный мир побитовых операторов.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d