Kurungan keriting digunakan dalam notasi definisi fungsi dengan perbezaan kes. Kami mengemukakan persoalan sederhana apakah representasi ini juga dapat dihilangkan dan fungsinya dapat diturunkan menjadi notasi yang dapat dilakukan tanpa itu. Contohnya, fungsi
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
mewakilinya dalam sebutan satu baris menggunakan empat operasi asas aritmetik?
Itu mustahil dan kami membuktikannya dengan bantuan kesinambungan.
Kami menganggap jujukan \((x_n)\) dengan \(x_n = \frac{1}{n}\) . Untuk jujukan ini \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Tambahan pula \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Ini bermakna bahawa \(f\) tidak selanjar pada titik \(x=0\) , dan oleh itu tidak selanjar secara keseluruhan.
Oleh kerana hasil tambah dan hasil bagi fungsi selanjar adalah berterusan semula disebabkan oleh teorem penggabungan, anda hanya boleh menjana fungsi berterusan (khususnya tidak sekali-kali \(f\) ) menggunakan empat operasi aritmetik asas.
Walau bagaimanapun, jika kita membiarkan fungsi signum yang tidak terputus, misalnya, kita dapat mencari notasi seperti itu dengan mudah. Kemudian iaitu
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Untuk fungsi umum \(f\) dengan perbezaan kes berlaku
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Sebaliknya, jika anda melihat fungsi dalam bahasa pengaturcaraan, cabang dapat diselesaikan. Sebagai contoh, dalam PHP fungsi signum dapat dipetakan dengan:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) juga dapat dipaparkan tanpa struktur kawalan jika / lain dengan:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Jika anda juga ingin melakukannya tanpa operator perbandingan, anda boleh melangkah lebih jauh dan menyelami dunia operator bitwise yang indah.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d