Om notationen af ​​forgrenede funktioner

Krøllede parenteser bruges i notationen af ​​funktionsdefinitioner med forskel mellem store og små bogstaver. Vi forfølger det enkle spørgsmål om, hvorvidt denne repræsentation også kan elimineres, og funktionen kan reduceres til en notation, der kan klare sig uden den. For eksempel funktionen

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

ved hjælp af de fire grundlæggende aritmetiske operationer ved hjælp af en linjeudtryk?


Det er umuligt, og vi beviser det ved hjælp af kontinuitet.

Vi betragter sekvensen \((x_n)\) med \(x_n = \frac{1}{n}\) . For denne sekvens \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Derudover \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Så \(f\) er diskontinuerligt ved punktet \(x=0\) dvs. diskontinuerligt samlet.

Da summen og produktet af kontinuerlige funktioner er kontinuerlige igen på grund af kædeklausulerne, kan man kun generere kontinuerlige funktioner (dvs. især aldrig \(f\) ) ved hjælp af de fire grundlæggende aritmetiske operationer.

Men hvis vi f.eks. Tillader den diskontinuerlige signum-funktion , kan vi let finde en sådan notation. Så nemlig

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

For en generel funktion \(f\) med sagsskelnen gælder

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

På den anden side, hvis du ser på funktioner på programmeringssprog, kan grene løses. For eksempel kan signum-funktionen kortlægges i PHP med:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) kan også vises uden nogen, hvis / ellers kontrolstrukturer med:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Hvis du også vil undvære sammenligningsoperatører, kan du gå et skridt videre og fordybe dig i den smukke verden af bitvise operatører:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Tilbage