Σχετικά με τη σημείωση των διακλαδισμένων συναρτήσεων

Τα σγουρά αγκύλες χρησιμοποιούνται στη σημείωση των ορισμών συνάρτησης με διάκριση πεζών-κεφαλαίων. Εξετάζουμε το απλό ερώτημα για το αν αυτή η αναπαράσταση μπορεί επίσης να εξαλειφθεί και η συνάρτηση μπορεί να μειωθεί σε μια σημειογραφία που κάνει χωρίς αυτήν. Για παράδειγμα, η συνάρτηση

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

με τη βοήθεια των τεσσάρων βασικών αριθμητικών πράξεων χρησιμοποιώντας έναν όρο μιας γραμμής;


Αυτό είναι αδύνατο και το αποδεικνύουμε με τη βοήθεια της συνέχειας.

Θεωρούμε την ακολουθία \((x_n)\) με \(x_n = \frac{1}{n}\) . Για αυτήν την ακολουθία \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Επιπλέον, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Έτσι το \(f\) είναι ασυνεχές στο σημείο \(x=0\) δηλαδή ασυνεχές συνολικά.

Δεδομένου ότι το άθροισμα και το προϊόν των συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχές και πάλι λόγω των ρητρών αλυσίδας, μπορεί κανείς να δημιουργήσει μόνο συνεχείς συναρτήσεις (δηλ. Ποτέ ποτέ \(f\) ) με τη βοήθεια των τεσσάρων βασικών αριθμητικών πράξεων.

Ωστόσο, εάν επιτρέψουμε τη λειτουργία ασυνεχούς σηματοδότησης , για παράδειγμα, μπορούμε εύκολα να βρούμε μια τέτοια σημειογραφία. Τότε δηλαδή

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Για μια γενική συνάρτηση \(f\) με διάκριση περίπτωσης ισχύει

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Από την άλλη πλευρά, εάν κοιτάξετε τις λειτουργίες σε γλώσσες προγραμματισμού, οι κλάδοι μπορούν να επιλυθούν. Για παράδειγμα, στην PHP μπορεί να αντιστοιχιστεί η συνάρτηση signum:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) μπορεί επίσης να εμφανιστεί χωρίς δομές ελέγχου εάν / αλλιώς με:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Αν θέλετε να κάνετε χωρίς χειριστές σύγκρισης, μπορείτε να προχωρήσετε ένα βήμα παραπέρα και να βυθιστείτε στον όμορφο κόσμο των bitwise τελεστών:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Πίσω