Τα σγουρά αγκύλες χρησιμοποιούνται στη σημείωση των ορισμών συνάρτησης με διάκριση πεζών-κεφαλαίων. Εξετάζουμε το απλό ερώτημα για το αν αυτή η αναπαράσταση μπορεί επίσης να εξαλειφθεί και η συνάρτηση μπορεί να μειωθεί σε μια σημειογραφία που κάνει χωρίς αυτήν. Για παράδειγμα, η συνάρτηση
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
να το παριστάνουμε σε έναν όρο μιας γραμμής χρησιμοποιώντας τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις;
Αυτό είναι αδύνατο και το αποδεικνύουμε με τη βοήθεια της συνέχειας.
Θεωρούμε την ακολουθία \((x_n)\) με \(x_n = \frac{1}{n}\) . Για αυτήν την ακολουθία \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Επιπλέον \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Αυτό σημαίνει ότι \(f\) είναι ασυνεχές στο σημείο \(x=0\) , και επομένως ασυνεχές συνολικά.
Εφόσον το άθροισμα και το γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων είναι και πάλι συνεχή λόγω των θεωρημάτων συνένωσης, μπορείτε να δημιουργήσετε μόνο συνεχείς συναρτήσεις (ιδίως ποτέ \(f\) ) χρησιμοποιώντας τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις.
Ωστόσο, εάν επιτρέψουμε τη λειτουργία ασυνεχούς σηματοδότησης , για παράδειγμα, μπορούμε εύκολα να βρούμε μια τέτοια σημειογραφία. Τότε δηλαδή
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Για μια γενική συνάρτηση \(f\) με διάκριση περίπτωσης ισχύει
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Από την άλλη πλευρά, εάν κοιτάξετε τις λειτουργίες σε γλώσσες προγραμματισμού, οι κλάδοι μπορούν να επιλυθούν. Για παράδειγμα, στην PHP μπορεί να αντιστοιχιστεί η συνάρτηση signum:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) μπορεί επίσης να εμφανιστεί χωρίς δομές ελέγχου εάν / αλλιώς με:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Αν θέλετε επίσης να κάνετε χωρίς τελεστές σύγκρισης, μπορείτε να προχωρήσετε ένα βήμα παραπέρα και να εμβαθύνετε στον υπέροχο κόσμο των τελεστών bitwise.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d