Les accolades sont utilisées dans la notation des définitions de fonctions avec distinction de casse. Nous poursuivons la simple question de savoir si cette représentation peut également être éliminée et si la fonction peut être réduite à une notation qui peut s'en passer. Par exemple, la fonction
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
le représenter sous la forme d'un terme sur une seule ligne en utilisant les quatre opérations arithmétiques de base ?
C'est impossible et nous le prouvons avec l'aide de la continuité.
On considère la séquence \((x_n)\) avec \(x_n = \frac{1}{n}\) . Pour cette séquence \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . De plus \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Cela signifie que \(f\) est discontinu au point \(x=0\) , et donc globalement discontinu.
Puisque la somme et le produit des fonctions continues sont à nouveau continus en raison des théorèmes de concaténation, vous ne pouvez générer des fonctions continues (en particulier jamais \(f\) ) qu'en utilisant les quatre opérations arithmétiques de base.
Cependant, si nous autorisons la fonction de signum discontinue, par exemple, nous pouvons facilement trouver une telle notation. Puis à savoir
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Pour une fonction générale \(f\) avec distinction de casse s'applique
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
D'un autre côté, si vous regardez les fonctions dans les langages de programmation, les branches peuvent être résolues. Par exemple, en PHP, la fonction signum peut être mappée avec:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) peut également être affiché sans aucune structure de contrôle if / else avec:
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Si vous souhaitez également vous passer des opérateurs de comparaison, vous pouvez aller plus loin et explorer le monde merveilleux des opérateurs bit à bit.:
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