Les accolades sont utilisées dans la notation des définitions de fonctions avec distinction de casse. Nous poursuivons la simple question de savoir si cette représentation peut également être éliminée et si la fonction peut être réduite à une notation qui peut s'en passer. Par exemple, la fonction
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
à l'aide des quatre opérations arithmétiques de base utilisant un terme d'une ligne?
C'est impossible et nous le prouvons avec l'aide de la continuité.
On considère la séquence \((x_n)\) avec \(x_n = \frac{1}{n}\) . Pour cette séquence \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . De plus, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Donc \(f\) est discontinu au point \(x=0\) c'est-à \(x=0\) dire discontinu globalement.
Puisque la somme et le produit des fonctions continues sont à nouveau continus en raison des clauses de chaînage, on ne peut générer des fonctions continues (en particulier jamais \(f\) ) à l'aide des quatre opérations arithmétiques de base.
Cependant, si nous autorisons la fonction de signum discontinue, par exemple, nous pouvons facilement trouver une telle notation. Puis à savoir
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Pour une fonction générale \(f\) avec distinction de casse s'applique
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
D'un autre côté, si vous regardez les fonctions dans les langages de programmation, les branches peuvent être résolues. Par exemple, en PHP, la fonction signum peut être mappée avec:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) peut également être affiché sans aucune structure de contrôle if / else avec:
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Si vous souhaitez vous passer des opérateurs de comparaison, vous pouvez aller plus loin et vous immerger dans le monde magnifique des opérateurs bit à bit:
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