Parantezele cretate sunt utilizate în notația definițiilor funcției cu distincție de majuscule. Urmărim întrebarea simplă dacă această reprezentare poate fi, de asemenea, eliminată și funcția poate fi redusă la o notație fără ea. De exemplu, funcția
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
reprezentați-l într-un termen de o linie folosind cele patru operații aritmetice de bază?
Acest lucru este imposibil și o dovedim cu ajutorul continuității.
Considerăm șirul \((x_n)\) cu \(x_n = \frac{1}{n}\) . Pentru această secvență \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . În plus \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Aceasta înseamnă că \(f\) este discontinuă în punctul \(x=0\) și, prin urmare, discontinuu în ansamblu.
Deoarece suma și produsul funcțiilor continue sunt din nou continue datorită teoremelor de concatenare, puteți genera numai funcții continue (în special niciodată \(f\) ) folosind cele patru operații aritmetice de bază.
Cu toate acestea, dacă permitem funcția signum discontinuă, de exemplu, putem găsi cu ușurință o astfel de notație. Atunci și anume
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
Pentru o funcție generală \(f\) cu distincție de caz se aplică
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Pe de altă parte, dacă vă uitați la funcții în limbaje de programare, ramurile pot fi rezolvate. De exemplu, în PHP funcția signum poate fi mapată cu:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) poate fi afișat și fără structuri de control if / else cu:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Dacă vrei să renunți și la operatorii de comparație, poți merge mai departe și să te aventurezi în lumea minunată a operatorilor bit cu bit.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d