A függvénydefiníciók megkülönböztetésével göndör zárójeleket alkalmazunk esetkülönbséggel. Azt az egyszerű kérdést keressük, hogy ezt az ábrázolást ki lehet-e küszöbölni, és a funkciót le lehet-e redukálni olyan jelölésre, amely nélküle nélkülözhető. Például a függvény
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
ábrázolja egysoros tagban a négy számtani alapművelettel?
Ez lehetetlen, és a folytonosság segítségével bizonyítjuk.
A \((x_n)\) sorozatot \(x_n = \frac{1}{n}\) értékkel tekintjük. Ehhez a sorozathoz \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Továbbá \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Ez azt jelenti, hogy \(f\) nem folytonos az \(x=0\) pontban, és ezért összességében nem folytonos.
Mivel a folytonos függvények összege és szorzata az összefűzési tételek miatt ismét folytonos, a négy aritmetikai alapművelettel csak folytonos függvényeket generálhat (főleg soha \(f\) ).
Ha azonban megengedjük például a szakaszos signum függvényt , akkor könnyen találhatunk ilyen jelölést. Akkor mégpedig
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
\(f\) általános függvény esetében esetkülönböztetés érvényes
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Másrészt, ha a programozási nyelvek függvényeit nézzük, akkor az ágak megoldhatók. Például a PHP-ben a signum függvény leképezhető:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) minden if / else vezérlő struktúra nélkül is megjeleníthető:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Ha Ön is szeretne összehasonlító operátorok nélkül lenni, akkor egy lépéssel tovább mehet, és elmerülhet a bitenkénti operátorok csodálatos világában.:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d