Az elágazó függvények jelöléséről

A függvénydefiníciók megkülönböztetésével göndör zárójeleket alkalmazunk esetkülönbséggel. Azt az egyszerű kérdést keressük, hogy ezt az ábrázolást ki lehet-e küszöbölni, és a funkciót le lehet-e redukálni olyan jelölésre, amely nélküle nélkülözhető. Például a függvény

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

a négy számtani alapművelet segítségével egy vonalas kifejezéssel?


Ez lehetetlen, és a folytonosság segítségével bizonyítjuk.

Figyelembe vesszük a \((x_n)\) sorrendet \((x_n)\) \(x_n = \frac{1}{n}\) . Ehhez a sorrendhez \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Ezenkívül \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Tehát az \(f\) szakaszos az \(x=0\) azaz összességében szakaszos.

Mivel a folytonos függvények összege és szorzata a láncolási záradékok miatt ismét folyamatos, folytonos függvényeket (azaz különösen soha \(f\) ) csak a négy alapvető számtani művelet segítségével lehet létrehozni.

Ha azonban megengedjük például a szakaszos signum függvényt , akkor könnyen találhatunk ilyen jelölést. Akkor mégpedig

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

\(f\) általános függvény esetében esetkülönböztetés érvényes

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Másrészt, ha a programozási nyelvek függvényeit nézzük, akkor az ágak megoldhatók. Például a PHP-ben a signum függvény leképezhető:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) minden if / else vezérlő struktúra nélkül is megjeleníthető:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Ha összehasonlító operátorok nélkül is meg akarja csinálni, léphet egy lépéssel tovább, és belemerülhet a bitenkénti operátorok gyönyörű világába:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Vissza