घुंघराले कोष्ठक का उपयोग केस डिस्टिंक्शन के साथ फंक्शन परिभाषाओं के अंकन में किया जाता है। हम इस प्रश्न के सरल प्रश्न का पीछा करते हैं कि क्या इस प्रतिनिधित्व को भी समाप्त किया जा सकता है और फ़ंक्शन को एक संकेतन तक कम किया जा सकता है जो इसके बिना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके इसे एक पंक्ति में निरूपित करें?
यह असंभव है और हम इसे निरंतरता की मदद से साबित करते हैं।
हम अनुक्रम \((x_n)\) को \(x_n = \frac{1}{n}\) के साथ मानते हैं। इस क्रम के लिए \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . इसके अलावा \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . इसका मतलब यह है कि \(f\) बिंदु \(x=0\) पर असंतत है, और इसलिए कुल मिलाकर असंतत है।
चूंकि निरंतर कार्यों का योग और उत्पाद संयोजन प्रमेय के कारण फिर से निरंतर होते हैं, आप केवल चार बुनियादी अंकगणितीय परिचालनों का उपयोग करके निरंतर कार्यों (विशेष रूप से कभी नहीं \(f\) ) उत्पन्न कर सकते हैं।
हालांकि, अगर हम असंतोषजनक साइनम फ़ंक्शन की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, हम आसानी से इस तरह के संकेतन पा सकते हैं। फिर अर्थात्
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
मामले के अंतर के साथ एक सामान्य फ़ंक्शन \(f\) के लिए लागू होता है
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
दूसरी ओर, यदि आप प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्यों को देखते हैं, तो शाखाओं को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, PHP में साइनम फ़ंक्शन के साथ मैप किया जा सकता है:
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\(f\) को बिना किसी अन्य के साथ भी प्रदर्शित किया जा सकता है / अन्यथा नियंत्रण संरचनाओं के साथ:
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यदि आप तुलना ऑपरेटरों के बिना भी काम करना चाहते हैं, तो आप एक कदम आगे बढ़कर बिटवाइज ऑपरेटरों की अद्भुत दुनिया में उतर सकते हैं।:
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