घुंघराले कोष्ठक का उपयोग केस डिस्टिंक्शन के साथ फंक्शन परिभाषाओं के अंकन में किया जाता है। हम इस प्रश्न के सरल प्रश्न का पीछा करते हैं कि क्या इस प्रतिनिधित्व को भी समाप्त किया जा सकता है और फ़ंक्शन को एक संकेतन तक कम किया जा सकता है जो इसके बिना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
एक लाइन शब्द का उपयोग करके चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशनों की मदद से?
यह असंभव है और हम इसे निरंतरता की मदद से साबित करते हैं।
हम \(x_n = \frac{1}{n}\) साथ अनुक्रम \((x_n)\) पर विचार करते हैं। इस क्रम के लिए \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) । इसके अलावा, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) । तो \(f\) बिंदु \(x=0\) बंद है \(x=0\) अर्थात् समग्र रूप से बंद है।
संयोजन प्रमेयों के कारण, सतत कार्यों का योग और गुणनफल फिर से सतत होते हैं, कोई केवल चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके सतत कार्यों (अर्थात, कभी भी \(f\) ) को उत्पन्न कर सकता है।
हालांकि, अगर हम असंतोषजनक साइनम फ़ंक्शन की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, हम आसानी से इस तरह के संकेतन पा सकते हैं। फिर अर्थात्
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
मामले के अंतर के साथ एक सामान्य फ़ंक्शन \(f\) के लिए लागू होता है
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
दूसरी ओर, यदि आप प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्यों को देखते हैं, तो शाखाओं को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, PHP में साइनम फ़ंक्शन के साथ मैप किया जा सकता है:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) को बिना किसी अन्य के साथ भी प्रदर्शित किया जा सकता है / अन्यथा नियंत्रण संरचनाओं के साथ:
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यदि आप तुलना ऑपरेटरों के बिना भी काम करना चाहते हैं, तो आप एक कदम आगे बढ़कर बिटवाइज ऑपरेटरों की अद्भुत दुनिया में उतर सकते हैं।:
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