शाखित कार्यों के अंकन के बारे में

घुंघराले कोष्ठक का उपयोग केस डिस्टिंक्शन के साथ फंक्शन परिभाषाओं के अंकन में किया जाता है। हम इस प्रश्न के सरल प्रश्न का पीछा करते हैं कि क्या इस प्रतिनिधित्व को भी समाप्त किया जा सकता है और फ़ंक्शन को एक संकेतन तक कम किया जा सकता है जो इसके बिना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

एक लाइन शब्द का उपयोग करके चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशनों की मदद से?


यह असंभव है और हम इसे निरंतरता की मदद से साबित करते हैं।

हम \(x_n = \frac{1}{n}\) साथ अनुक्रम \((x_n)\) पर विचार करते हैं। इस क्रम के लिए \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) । इसके अलावा, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) । तो \(f\) बिंदु \(x=0\) बंद है \(x=0\) अर्थात् समग्र रूप से बंद है।

चंूकि खण्डों के कारण योग और निरंतर कार्यों के उत्पाद फिर से निरंतर होते हैं, इसलिए केवल चार बुनियादी अंकगणितीय कार्यों की मदद से निरंतर कार्य (यानी विशेष रूप से कभी नहीं \(f\) ) उत्पन्न कर सकते हैं।

हालांकि, अगर हम असंतोषजनक साइनम फ़ंक्शन की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, हम आसानी से इस तरह के संकेतन पा सकते हैं। फिर अर्थात्

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

मामले के अंतर के साथ एक सामान्य फ़ंक्शन \(f\) के लिए लागू होता है

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

दूसरी ओर, यदि आप प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्यों को देखते हैं, तो शाखाओं को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, PHP में साइनम फ़ंक्शन के साथ मैप किया जा सकता है:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) को बिना किसी अन्य के साथ भी प्रदर्शित किया जा सकता है / अन्यथा नियंत्रण संरचनाओं के साथ:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

यदि आप तुलना ऑपरेटरों के बिना करना चाहते हैं, तो आप एक कदम आगे जा सकते हैं और अपने आप को बिटवाइज़ ऑपरेटरों की सुंदर दुनिया में डुबो सकते हैं:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

वापस