Tentang notasi fungsi bercabang

Tanda kurung kurawal digunakan dalam notasi definisi fungsi dengan perbedaan huruf besar / kecil. Kami mengejar pertanyaan sederhana apakah representasi ini juga dapat dihilangkan dan fungsinya dapat direduksi menjadi notasi yang tidak melakukannya. Misalnya fungsinya

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$

dengan bantuan empat operasi aritmatika dasar yang menggunakan istilah satu baris?


Itu tidak mungkin dan kami membuktikannya dengan bantuan kontinuitas.

Kami menganggap urutan \((x_n)\) dengan \(x_n = \frac{1}{n}\) . Untuk urutan ini \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Selain itu, \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Jadi \(f\) terputus-putus pada titik \(x=0\) yaitu terputus secara keseluruhan.

Karena penjumlahan dan hasil kali dari fungsi kontinu adalah kontinu lagi karena klausa rantai, seseorang hanya dapat menghasilkan fungsi kontinu (yaitu tidak pernah \(f\) ) dengan bantuan empat operasi aritmatika dasar.

Namun, jika kita mengizinkan fungsi signum terputus-putus, misalnya, kita dapat dengan mudah menemukan notasi semacam itu. Kemudian yaitu

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$

Untuk fungsi umum \(f\) dengan perbedaan huruf besar / kecil berlaku

$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$

Di sisi lain, jika Anda melihat fungsi dalam bahasa pemrograman, cabang dapat diselesaikan. Misalnya, dalam PHP fungsi signum dapat dipetakan dengan:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

\(f\) juga dapat ditampilkan tanpa struktur kontrol if / else dengan:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Jika Anda ingin melakukannya tanpa operator pembanding, Anda dapat melangkah lebih jauh dan membenamkan diri Anda dalam dunia operator bitwise yang indah:

e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d

Kembali