Nawiasy klamrowe są używane w zapisie definicji funkcji z rozróżnieniem wielkości liter. Dążymy do prostego pytania, czy tę reprezentację można również wyeliminować, a funkcję można zredukować do notacji, która działa bez niej. Na przykład function
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left\{\begin{matrix} 42, & \text{falls } x = 0 \\ x, & \text{sonst} \end{matrix}\right.$$
za pomocą czterech podstawowych operacji arytmetycznych przy użyciu jednowierszowego terminu?
To niemożliwe i udowadniamy to ciągłością.
Rozważamy sekwencję \((x_n)\) z \(x_n = \frac{1}{n}\) . Dla tej sekwencji \( \lim_{ n \to \infty } x_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\) . Ponadto \(\lim_{ n \to \infty } f(x_n) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \neq 42 = f(0)\) . Więc \(f\) jest nieciągłe w punkcie \(x=0\) tj. Ogólnie nieciągłe.
Ponieważ suma i iloczyn funkcji ciągłych są znowu ciągłe ze względu na klauzule łańcuchowe, można tylko generować funkcje ciągłe (w szczególności nigdy \(f\) ) za pomocą czterech podstawowych operacji arytmetycznych.
Jeśli jednak pozwolimy na przykład na nieciągłą funkcję signum , możemy łatwo znaleźć taki zapis. Następnie mianowicie
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = sgn^2(x-42)+42.$$
W przypadku funkcji ogólnej \(f\) z rozróżnieniem wielkości liter ma zastosowanie
$$f,g,h,a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{Bmatrix} g(x), & \text{falls } a(x) = 0 \\ h(x), & \text{falls } a(x) \neq 0 \end{Bmatrix} = sgn^2 \left(a(x)\right)\cdot h(x) + \left(1-sgn^2\left(a(x)\right)\right)\cdot g(x).$$
Z drugiej strony, jeśli spojrzysz na funkcje w językach programowania, możesz rozwiązać gałęzie. Na przykład w PHP można odwzorować funkcję signum za pomocą:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
\(f\) można również wyświetlić bez żadnych struktur sterujących if / else z:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d
Jeśli chcesz również obejść się bez operatorów porównania, możesz pójść o krok dalej i zanurzyć się w pięknym świecie operatorów bitowych:
e367d0ca10c4f0ac43640ad7fd1b3f0d