Ing episode "Who Wants to Be a Millionaire ?" sing nembe wae ditayangake, ana pitakonan cilik sing kudu dipikirake Günther Jauch: "Angka mesthi bisa dibagi \(4\) tanpa sisa yen angka sing dibentuk saka rong digit pungkasan yaiku...?" – lan iki persis ing ngendi sampeyan kudu mikir kanthi matematis sedhela, tinimbang kepincut karo gangguan sing apik banget. Amarga nalika jawaban kaya "genap", "ngandhut \(0\) , utawa "jumlah digit yaiku \(4\) " muni masuk akal ing pandangan pertama, jawaban sing bener ana ing properti prasaja saka sistem desimal kita.
Angka \(X\) bisa dibagi karo \(4\) yen lan mung yen angka sing dibentuk saka rong digit pungkasan bisa dibagi karo \(4\) . Buktine langsung saka perwakilan desimal. Saben angka alami \(X\) bisa diwakili kanthi unik ing wangun
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
tulis ing ngendi \(X''\) minangka angka sing dibentuk saka rong digit pungkasan, yaiku, \(0 \leq X'' < 100\) , lan \(X'\) minangka bagean sadurunge saka angka kasebut. Wiwit
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
ditrapake, nderek
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Tambahan pisanan \(25 \cdot 4 \cdot X'\) mesthi bisa dibagi karo \(4\) preduli saka \(X'\) . Mulane, kanggo sisa \(X\) nalika dibagi karo \(4\) mung \(X''\) sing relevan. Diungkapake kanthi resmi:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Iki ditrapake utamane:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Aturan pambagian sing padha muncul nalika angka pangkat \(10\) modulo dadi prasaja banget. Kanggo pambagian kanthi \(4\) faktor penting yaiku \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Dadi luwih menarik nalika nilai \(1\) utawa \(-1\) kedadeyan tinimbang \(0\) .
Conto klasik yaiku bisa dibagi karo \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Yen iki bener, nilai panggonan saka angka desimal modulo \(11\) tansah ganti-ganti antarane \(1\) lan \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Mulane, iki nderek
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Angka bisa dibagi \(11\) yen lan mung yen jumlah digit selang-selinge bisa dibagi \(11\) Kanggo \(918082\) contone, iki kedadeyan.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
lan amarga \(-22\) bisa dibagi karo \(11\) , \(918082\) uga bisa dibagi karo \(11\) .
Aturan kanggo \(7\) , \(11\) lan \(13\) sing luwih elegan maneh. Aturan iki netepake yen
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
lan kanthi mangkono
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Yen sampeyan mbagi angka dadi blok telu saka tengen menyang kiwa, sampeyan bisa nambah lan nyuda blok kasebut kanthi genti-genten. Kanggo
\[
X = 123456789
\]
Dadi, yen ana sing nganggep
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Angka asliné nduwèni sisa modulo \(7\) , \(11\) lan \(13\) sing padha karo \(456\) Mula, angka sing gedhé banget bisa diganti karo angka sing luwih cilik tanpa ngganti kemampuané kanggo dibagi karo telung angka iki.
Kamungkinan dibagi karo \(37\) uga nduweni wujud sing elegan banget. Wiwit
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
ditrapake
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Nalika bisa dibagi karo \(37\) blok telu bisa ditambahake bebarengan. Contone, saka
\[
99937
\]
jumlah kasebut
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Ing kono
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Yen \(99937\) bisa dibagi 37, mula 99937 uga bisa dibagi \(37\) .
Aturan kaya ngono wiwitane katon kaya trik numerik, nanging pungkasane mung aplikasi saka ide sing padha: ngganti pangkat gedhe saka sepuluh karo sisa modulo prasaja saka angka sing dimaksud. Iki ngowahi angka desimal gedhe dadi itungan prasaja sing nglibatake kongruensi. Pramila aturan pambagian kaya ngono luwih saka mung trik aritmatika; aturan kasebut makili pangurangan dadi sisa modulo. \(10^k\): Ing format kuis, iki katon minangka jebakan kognitif cilik, nanging langsung ndadékaké ide sing nggumunake ing téori angka.