"Kim Milyoner Olmak İster ?" programının son bölümünde, Günther Jauch'un üzerinde düşünmesi gereken güzel bir soru vardı: "Bir sayı, son iki rakamının toplamı \(4\) kalansız bölünebilir?" – ve işte tam da burada, güzel görünen dikkat dağıtıcı şeylere kapılmak yerine, bir an için matematiksel olarak düşünmeniz gerekiyor. Çünkü "çift sayıdır", " \(0\) veya "rakamların toplamı \(4\) " gibi cevaplar ilk bakışta mantıklı görünse de, doğru cevap ondalık sistemimizin basit bir özelliğinde yatmaktadır.
Bir sayı \(X\) , ancak ve ancak son iki basamağının oluşturduğu sayı \(4\) 'e bölünebiliyorsa \(4\) 'e bölünebilir. Kanıt, ondalık gösterimden doğrudan çıkarılabilir. Her doğal sayı \(X\) benzersiz bir şekilde şu biçimde gösterilebilir:
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
Burada \(X''\) , sayının son iki basamağından oluşan sayıdır, yani \(0 \leq X'' < 100\) , ve \(X'\) sayının önceki kısmıdır.
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
uygulanır, takip eder
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Birinci toplanan \(25 \cdot 4 \cdot X'\) , \(X'\) 'den bağımsız olarak her zaman \(4\) 'e bölünebilir. Bu nedenle, \(X\) 'in \(4\) 'e bölündüğünde kalan için yalnızca \(X''\) önemlidir. Biçimsel olarak ifade edilir.:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Bu durum özellikle geçerlidir.:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Bir sayının modülüne göre \(10\) kuvveti özellikle basit hale geldiğinde benzer bölünebilirlik kuralları ortaya çıkar. \(4\) bölünebilirlik için en önemli faktör \(100 \equiv 0 \pmod 4\) olmasıydı. \(0\) yerine \(1\) veya \(-1\) değerleri ortaya çıktığında durum daha da ilginç hale gelir.
Bunun klasik bir örneği \(11\) bölünebilirliktir.
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Eğer bu doğruysa, bir ondalık sayının \(11\) modülüne göre basamak değerleri her zaman \(1\) ve \(-1\) arasında değişir.
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Dolayısıyla şu sonuç çıkar:
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Bir sayının \(11\) bölünebilmesi için, ardışık rakamlarının toplamının \(11\) bölünebilmesi gerekir. Örneğin, \(918082\) için bu durum geçerlidir.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
ve \(-22\) \(11\) bölünebildiğinden, \(918082\) da \(11\) bölünebilir.
\(7\) , \(11\) ve \(13\) için aynı anda geçerli olan kural daha da zariftir. Bu kural geçerlidir.
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
ve böylece
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Bir sayıyı sağdan sola doğru üçerli bloklara bölerseniz, bu blokları sırayla toplayıp çıkarabilirsiniz.
\[
X = 123456789
\]
Dolayısıyla, eğer biri şunu düşünürse...
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Orijinal sayının \(7\) , \(11\) ve \(13\) modüllerine göre kalanları \(456\) ile aynıdır. Bu nedenle, çok büyük bir sayı, bu üç sayıya bölünebilirliğini değiştirmeden önemli ölçüde daha küçük bir sayıyla değiştirilebilir.
\(37\) bölünebilirlik özelliği de şaşırtıcı derecede zarif bir biçime sahiptir. Çünkü
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
uygulanır
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
\(37\) basitçe toplanabilir. Örneğin,
\[
99937
\]
toplam
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Orada
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Eğer \(99937\) 37'ye bölünebiliyorsa, o zaman 99937 sayısı aynı zamanda \(37\) de bölünebilir.
Bu tür kurallar başlangıçta sayısal hileler gibi görünse de, nihayetinde aynı fikrin uygulamalarıdır: büyük onluk kuvvetlerin, söz konusu sayıya göre modüler kalanlarla değiştirilmesi. Bu, büyük bir ondalık sayıyı, uyumlulukları içeren basit bir hesaplamaya dönüştürür. İşte tam da bu nedenle bu bölünebilirlik kuralları sadece aritmetik hilelerden daha fazlasıdır; modüler kalanlara indirgemeyi temsil ederler. \(10^k\): Sınav formatında küçük bilişsel tuzaklar gibi görünseler de, sayı teorisinde şaşırtıcı derecede zarif bir fikre doğrudan yol açarlar.