Trong tập gần đây của chương trình "Ai muốn trở thành triệu phú ?", có một câu hỏi khá hay mà Günther Jauch rõ ràng đã phải suy nghĩ: "Một số luôn chia hết cho \(4\) mà không có số dư nếu tổng của hai chữ số cuối của nó là...?" – và chính ở đây bạn cần phải suy nghĩ theo phương pháp toán học một chút, thay vì bị cuốn hút bởi những đáp án đẹp mắt. Bởi vì trong khi các đáp án như "là số chẵn", "có chứa số \(0\) , hoặc "tổng các chữ số là \(4\) " nghe có vẻ hợp lý ngay từ cái nhìn đầu tiên, thì đáp án đúng nằm ở một tính chất đơn giản của hệ thập phân.
Một số \(X\) chia hết cho \(4\) khi và chỉ khi số được tạo thành từ hai chữ số cuối của nó chia hết cho \(4\) . Chứng minh này suy ra trực tiếp từ biểu diễn thập phân. Mỗi số tự nhiên \(X\) có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
viết trong đó \(X''\) là số được tạo thành từ hai chữ số cuối cùng, tức là \(0 \leq X'' < 100\) , và \(X'\) là phần trước của số đó. Vì
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
áp dụng, tuân theo
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Số hạng đầu tiên \(25 \cdot 4 \cdot X'\) luôn chia hết cho \(4\) bất kể \(X'\) là bao nhiêu. Do đó, đối với phần dư của \(X\) khi chia cho \(4\) chỉ có \(X''\) là có liên quan. Biểu thức chính thức:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Điều này đặc biệt áp dụng:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Các quy tắc chia hết tương tự xuất hiện bất cứ khi nào lũy thừa của \(10\) lấy dư cho một số trở nên đặc biệt đơn giản. Đối với phép chia hết cho \(4\) yếu tố quan trọng là \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Điều này thậm chí còn thú vị hơn khi các giá trị \(1\) hoặc \(-1\) xuất hiện thay vì \(0\) .
Một ví dụ điển hình là tính chia hết cho \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Nếu điều này đúng, thì giá trị vị trí của một số thập phân lấy dư vào modulo \(11\) luôn luân phiên giữa \(1\) và \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Do đó, điều này dẫn đến kết luận sau:
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Một số được gọi là chia hết cho \(11\) khi và chỉ khi tổng các chữ số xen kẽ của nó chia hết cho \(11\) Ví dụ, với \(918082\) điều này đúng.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
và vì \(-22\) chia hết cho \(11\) nên \(918082\) cũng chia hết cho \(11\) .
Quy tắc thanh lịch hơn nữa áp dụng cho \(7\) , \(11\) và \(13\) đồng thời. Quy tắc này đúng rằng
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
và như vậy
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Nếu bạn chia một số thành các khối ba từ phải sang trái, bạn có thể cộng và trừ các khối này xen kẽ. Ví dụ:
\[
X = 123456789
\]
Vì vậy, nếu xét đến
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Số ban đầu có cùng số dư modulo \(7\) , \(11\) và \(13\) như \(456\) Do đó, một số rất lớn có thể được thay thế bằng một số nhỏ hơn đáng kể mà không làm thay đổi tính chia hết của nó cho ba số này.
Tính chia hết cho \(37\) cũng có một hình thức thanh lịch đáng ngạc nhiên. Vì vậy,
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
áp dụng
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Khi chia hết cho \(37\) các khối gồm ba số có thể được cộng lại với nhau một cách đơn giản. Ví dụ, từ
\[
99937
\]
tổng
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Ở đó
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Nếu \(99937\) chia hết cho 37, thì 99937 cũng chia hết cho \(37\) .
Những quy tắc này thoạt nhìn có vẻ như là những thủ thuật số học, nhưng cuối cùng chỉ là ứng dụng của cùng một ý tưởng: thay thế lũy thừa lớn của mười bằng các số dư đơn giản theo modulo của số đang xét. Điều này biến một số thập phân lớn thành một phép tính đơn giản liên quan đến phép đồng dư. Đó chính xác là lý do tại sao các quy tắc chia hết như vậy không chỉ đơn thuần là những thủ thuật số học; chúng thể hiện sự quy giản về số dư theo modulo. \(10^k\): Ở dạng câu hỏi trắc nghiệm, chúng xuất hiện như những cái bẫy nhận thức nhỏ, nhưng lại dẫn trực tiếp đến một ý tưởng thanh lịch đáng ngạc nhiên trong lý thuyết số.