In recenti episodio "Quis Millionarius Esse Vult ?", quaestio parva et elegans erat de qua Günther Jauch manifeste cogitare debuit: "Numerus semper divisibilis est per \(4\) sine residuo si numerus ex duabus ultimis digitis formatus est...?" – et hic est locus ubi mathematice cogitare debes paulisper, potius quam a pulchris distractionibus allici. Nam dum responsa ut "par est", " \(0\) , vel "summa digitorum est \(4\) " primo aspectu plausibilia videntur, responsum rectum in simplici proprietate systematis nostri decimalis iacet.
Numerus \(X\) divisibilis est per \(4\) si et solum si numerus ex ultimis duabus digitis formatus divisibilis est per \(4\) . Demonstratio directe ex repraesentatione decimali sequitur. Omnis numerus naturalis \(X\) unice repraesentari potest in forma
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
scribe ubi \(X''\) est numerus formatus ex ultimis duabus digitis, i.e., \(0 \leq X'' < 100\) , et \(X'\) est pars numeri praecedens. Quoniam
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
applicatur, sequitur
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Primum addendum \(25 \cdot 4 \cdot X'\) semper divisibile est per \(4\) cuiuscumque sit \(X'\) . Ergo, pro reliquo \(X\) cum dividitur per \(4\) solum \(X''\) pertinet. Formaliter expressum:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Hoc praesertim valet:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Similes regulae divisibilitatis oriuntur quotiescumque potentia \(10\) modulo numeri fit praecipue simplex. Pro divisibilitate per \(4\) factor crucialis erat ut \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Res etiam magis interest cum valores \(1\) vel \(-1\) occurrunt loco \(0\) .
Exemplum classicum est divisibilitas per \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Si hoc verum est, valores locorum numeri decimalis modulo \(11\) semper inter \(1\) et \(-1\) alternant.
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Ergo, sequitur
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Numerus per \(11\) divisibilis est si et solum si summa digitorum eius alternantium per \(11\) divisibilis est. Exempli gratia, in \(918082\) hoc verum est.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
Et cum \(-22\) divisibilis sit per \(11\) , \(918082\) etiam divisibilis est per \(11\) .
Etiam elegantior est regula pro \(7\) , \(11\) et \(13\) simul. Ea valet ut
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
et sic
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Si numerum in partes trium a dextra ad sinistram dividis, has partes alternatim addere et subtrahere potes. Nam
\[
X = 123456789
\]
Ergo, si quis considerat
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Numerus originalis idem residuum modulo \(7\) , \(11\) et \(13\) habet ac \(456\) Ergo, numerus permagnus numero multo minore substitui potest sine mutatione divisibilitatis eius per hos tres numeros.
Divisibilitatis per \(37\) etiam formam mirum in modum elegantem habet. Quoniam
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
applicatur
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Cum per \(37\) partes trium simpliciter addi possunt. Exempli gratia, ex
\[
99937
\]
summa
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Ibi
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Si \(99937\) per 37 divisibilis est, tum 99937 etiam per \(37\) divisibilis est.
Tales regulae initio videntur esse artes numericae, sed denique sunt tantum applicationes eiusdem ideae: substituere magnas potestates decem simplicibus reliquiis modulo numeri in questione. Hoc magnum numerum decimalem in simplicem calculum congruentias implicantem transformat. Idcirco tales regulae divisibilitatis plus quam merae artes arithmeticae sunt; reductionem ad reliquias modulo repraesentant. \(10^k\): In forma interrogationum, parvae insidiae cognitivae apparent, sed directe ad notionem mirum in modum elegantem in theoria numerorum ducunt.