சமீபத்தில் ஒளிபரப்பான "ஹூ வாண்ட்ஸ் டு பி எ மில்லியனர் ?" நிகழ்ச்சியின் ஒரு பகுதியில், குந்தர் ஜாச் தெளிவாகச் சிந்திக்க வேண்டிய ஒரு அருமையான சிறிய கேள்வி இருந்தது: "ஒரு எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் எண்... ஆக இருந்தால், அந்த எண் எப்போதும் \(4\) ஆல் மீதமின்றி வகுபடும்?" – இந்த இடத்தில்தான், மற்ற அழகான கவனச்சிதறல்களால் ஈர்க்கப்படாமல், நீங்கள் ஒரு கணம் கணிதரீதியாகச் சிந்திக்க வேண்டும். ஏனெனில், "இரட்டை எண்", "ஒரு \(0\) , அல்லது "இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை \(4\) " போன்ற பதில்கள் முதல் பார்வையில் நம்பத்தகுந்தவையாகத் தோன்றினாலும், சரியான விடை நமது தசம அமைப்பின் ஒரு எளிய பண்பில் அடங்கியுள்ளது.
ஒரு எண் \(X\) ஆனது \(4\) ஆல் வகுபடும், அதன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களால் உருவாக்கப்படும் எண் \(4\) ஆல் வகுபடுமானால் மட்டுமே. இதற்கான நிரூபணம் தசமக் குறிப்பீட்டிலிருந்து நேரடியாகப் பெறப்படுகிறது. ஒவ்வொரு இயல் எண்ணும் \(X\) ஐத் தனித்துவமாக இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்.
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
கடைசி இரண்டு இலக்கங்களிலிருந்து உருவாகும் எண் \(X''\) ஆகும், அதாவது \(0 \leq X'' < 100\) , மற்றும் \(X'\) என்பது எண்ணின் முந்தைய பகுதியாகும் என எழுதுக. ஏனெனில்
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
பொருந்தும், தொடரும்
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
முதல் கூட்டல் எண் \(25 \cdot 4 \cdot X'\) ஆனது \(X'\) ஐப் பொருட்படுத்தாமல் \(4\) ஆல் வகுபடும். எனவே, \(X\) \(4\) \(X''\) மட்டுமே பொருத்தமானது. முறையாக வெளிப்படுத்தப்பட்டால்:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
இது குறிப்பாகப் பொருந்தும்:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
ஒரு எண்ணின் மட்டு மதிப்பான \(10\) இன் அடுக்கு மிகவும் எளிமையானதாக மாறும்போதெல்லாம், இது போன்ற வகுபடும் விதிகள் எழுகின்றன. \(4\) \(100 \equiv 0 \pmod 4\) என்பதே முக்கியமான காரணியாக இருந்தது. \(0\) க்கு பதிலாக \(1\) அல்லது \(-1\) மதிப்புகள் வரும்போது இது இன்னும் சுவாரஸ்யமாகிறது.
\(11\) ஆல் வகுபடுதல் என்பது ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு.
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
இது உண்மையாக இருந்தால், மட்டு \(11\) கொண்ட ஒரு தசம எண்ணின் இட மதிப்புகள் எப்போதும் \(1\) மற்றும் \(-1\) க்கு இடையில் மாறி மாறி வரும்.
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
எனவே, பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது.
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
ஒரு எண்ணின் மாறி மாறி வரும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை \(11\) ஆல் வகுபடுமானால் மட்டுமே, அந்த எண் \(11\) ஆல் வகுபடும். உதாரணமாக, \(918082\) என்ற எண்ணுக்கு இது பொருந்தும்.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
மேலும் \(-22\) ஆனது \(11\) ஆல் வகுபடுவதால், \(918082\) என்பதும் \(11\) ஆல் வகுபடும்.
இன்னும் நேர்த்தியானது \(7\) , \(11\) மற்றும் \(13\) ஒரே நேரத்தில் என்பதற்கான விதியாகும். அது கூறுகிறது
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
அதனால்
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
ஒரு எண்ணை வலமிருந்து இடமாக மூன்று மூன்று தொகுதிகளாகப் பிரித்தால், அந்தத் தொகுதிகளை மாறி மாறி கூட்டவும் கழிக்கவும் முடியும்.
\[
X = 123456789
\]
ஆகவே, ஒருவர் கருதினால்
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
அசல் எண்ணானது, \(456\) ஐப் போலவே \(7\) , \(11\) மற்றும் \(13\) மட்டுக்கு அதே மீதியைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, ஒரு மிகப் பெரிய எண்ணை, இந்த மூன்று எண்களால் அதன் வகுபடும்தன்மையை மாற்றாமல், கணிசமாக சிறிய எண்ணால் மாற்ற முடியும்.
\(37\) ஆல் வகுபடும் தன்மையும் வியக்கத்தக்க வகையில் ஒரு நேர்த்தியான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஏனெனில்
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
பொருந்தும்
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
\(37\) மூன்று தொகுதிகளை எளிதாக ஒன்றாகக் கூட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இருந்து
\[
99937
\]
கூட்டுத்தொகை
\[
99 + 937 = 1036.
\]
அங்கே
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
\(99937\) ஆனது 37 ஆல் வகுபடுமானால், 99937-ம் \(37\) ஆல் வகுபடும்.
இத்தகைய விதிகள் ஆரம்பத்தில் எண் சார்ந்த தந்திரங்களாகத் தோன்றினாலும், இறுதியில் அவை ஒரே கருத்தின் பயன்பாடுகளே ஆகும்: பத்தின் பெரிய அடுக்குகளை, கேள்விக்குரிய எண்ணின் மட்டு மதிப்பிற்குரிய எளிய மீதிகளால் மாற்றுவதே அது. இது ஒரு பெரிய தசம எண்ணை, ஒருங்கமைவுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு எளிய கணக்கீடாக மாற்றுகிறது. துல்லியமாக இதனால்தான் இத்தகைய வகுபடும் விதிகள் வெறும் எண்கணிதத் தந்திரங்களை விட மேலானவை; அவை மட்டு மதிப்பிற்குரிய மீதிகளாகச் சுருக்கப்படுவதைக் குறிக்கின்றன. \(10^k\): வினாவிடை வடிவத்தில், அவை சிறிய அறிவாற்றல் பொறிகளாகத் தோன்றினாலும், எண் கோட்பாட்டில் உள்ள வியக்கத்தக்க நேர்த்தியான ஒரு கருத்துக்கு நேரடியாக இட்டுச் செல்கின்றன.