En el reciente episodio de "¿Quién quiere ser millonario ?", surgió una pregunta ingeniosa que sin duda hizo reflexionar a Günther Jauch: "¿Un número siempre es divisible por \(4\) sin resto si el número formado por sus dos últimas cifras es...?" . Y es precisamente aquí donde hay que pensar matemáticamente por un momento, en lugar de dejarse seducir por las distracciones. Porque si bien respuestas como "es par", "contiene un \(0\) o "la suma de sus dígitos es \(4\) " parecen plausibles a primera vista, la respuesta correcta reside en una propiedad simple de nuestro sistema decimal.
Un número \(X\) es divisible por \(4\) si y solo si el número formado por sus dos últimos dígitos es divisible por \(4\) . La demostración se deduce directamente de la representación decimal. Todo número natural \(X\) puede representarse de forma única en la forma
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
escribe donde \(X''\) es el número formado por los dos últimos dígitos, es decir, \(0 \leq X'' < 100\) , y \(X'\) es la parte precedente del número. Dado que
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
Se aplica, sigue
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
El primer sumando \(25 \cdot 4 \cdot X'\) siempre es divisible por \(4\) independientemente de \(X'\) . Por lo tanto, para el resto de \(X\) cuando se divide por \(4\) solo \(X''\) es relevante. Formalmente expresado:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Esto se aplica en particular:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Reglas de divisibilidad similares surgen siempre que una potencia de \(10\) módulo un número se vuelve particularmente simple. Para la divisibilidad por \(4\) el factor crucial fue que \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Se vuelve aún más interesante cuando aparecen los valores \(1\) o \(-1\) en lugar de \(0\) .
Un ejemplo clásico es la divisibilidad por \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Si esto es cierto, los valores posicionales de un número decimal módulo \(11\) siempre alternan entre \(1\) y \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Por lo tanto, se sigue
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Un número es divisible por \(11\) si y solo si la suma de sus dígitos alternos es divisible por \(11\) Por ejemplo, este es el caso del número \(918082\) .
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
y puesto que \(-22\) es divisible por \(11\) , \(918082\) también es divisible por \(11\) .
Aún más elegante es la regla para \(7\) , \(11\) y \(13\) simultáneamente. Esta regla sostiene que
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
y por lo tanto
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Si divides un número en bloques de tres de derecha a izquierda, puedes sumar y restar estos bloques alternativamente.
\[
X = 123456789
\]
Entonces, si uno considera
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
El número original tiene el mismo resto módulo \(7\) , \(11\) y \(13\) que \(456\) Por lo tanto, un número muy grande puede ser reemplazado por uno significativamente menor sin que cambie su divisibilidad por estos tres números.
La divisibilidad por \(37\) también tiene una forma sorprendentemente elegante.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
se aplica
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Cuando es divisible por \(37\) los bloques de tres se pueden simplemente sumar. Por ejemplo, desde
\[
99937
\]
la suma
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Allá
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Si \(99937\) es divisible por 37, entonces 99937 también es divisible por \(37\) .
Estas reglas inicialmente parecen trucos numéricos, pero en última instancia son solo aplicaciones de la misma idea: reemplazar grandes potencias de diez con simples restos módulo el número en cuestión. Esto transforma un gran número decimal en un cálculo simple que involucra congruencias. Es precisamente por eso que tales reglas de divisibilidad son más que simples trucos aritméticos; representan una reducción a restos módulo \(10^k\): En formato de cuestionario, parecen pequeñas trampas cognitivas, pero conducen directamente a una idea sorprendentemente elegante de la teoría de números.