I det senaste avsnittet av "Vem vill bli miljonär ?" fanns det en liten smart fråga som Günther Jauch uppenbarligen var tvungen att fundera över: "Ett tal är alltid delbart med \(4\) utan rest om talet som bildas av dess två sista siffror är...?" – och det är just här man måste tänka matematiskt en stund, istället för att lockas av de snygga distraktionerna. För medan svar som "är jämnt", "innehåller en \(0\) eller "summan av siffrorna är \(4\) " låter rimliga vid första anblicken, ligger det rätta svaret i en enkel egenskap hos vårt decimalsystem.
Ett tal \(X\) är delbart med \(4\) om och endast om talet som bildas av dess två sista siffror är delbart med \(4\) . Beviset följer direkt av decimalrepresentationen. Varje naturligt tal \(X\) kan unikt representeras på formen
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
skriv där \(X''\) är talet som bildas av de två sista siffrorna, dvs. \(0 \leq X'' < 100\) , och \(X'\) är den föregående delen av talet. Eftersom
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
gäller, följer
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Det första adderandet \(25 \cdot 4 \cdot X'\) är alltid delbart med \(4\) oavsett \(X'\) . Därför är det endast \(X''\) som är relevant för resten av \(X\) när den divideras med \(4\) Formellt uttryckt:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Detta gäller särskilt:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Liknande delningsregler uppstår närhelst ett tal med \(10\) modulo blir särskilt enkelt. För delbarhet med \(4\) var den avgörande faktorn att \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Det blir ännu mer intressant när värdena \(1\) eller \(-1\) förekommer istället för \(0\) .
Ett klassiskt exempel är delbarhet med \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Om detta är sant växlar platsvärdena för ett decimaltal modulo \(11\) alltid mellan \(1\) och \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Det följer därför
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Ett tal är delbart med \(11\) om och endast om summan av dess alternerande siffror är delbar med \(11\) För till exempel \(918082\) är detta fallet.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
och eftersom \(-22\) är delbart med \(11\) , är \(918082\) också delbart med \(11\) .
Ännu mer elegant är regeln för \(7\) , \(11\) och \(13\) samtidigt. Den gäller att
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
och sålunda
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Om du delar upp ett tal i block om tre från höger till vänster kan du därför addera och subtrahera dessa block växelvis. Till exempel
\[
X = 123456789
\]
Så, om man betänker
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Det ursprungliga talet har samma rest, modulo \(7\) , \(11\) och \(13\) som \(456\) Därför kan ett mycket stort tal ersättas med ett betydligt mindre tal utan att dess delbarhet med dessa tre tal ändras.
Delbarheten med \(37\) har också en förvånansvärt elegant form. Eftersom
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
gäller
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
När de är delbara med \(37\) kan blocken om tre enkelt läggas ihop. Till exempel, från
\[
99937
\]
summan
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Det
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Om \(99937\) är delbart med 37, så är 99937 också delbart med \(37\) .
Sådana regler verkar initialt vara numeriska trick, men är i slutändan bara tillämpningar av samma idé: att ersätta stora tiopotenser med enkla rester modulo för talet i fråga. Detta omvandlar ett stort decimaltal till en enkel beräkning som involverar kongruenser. Det är just därför sådana delbarhetsregler är mer än bara aritmetiska trick; de representerar en reduktion till rester modulo. \(10^k\): I frågesportformat framstår de som små kognitiva fällor, men leder direkt till en förvånansvärt elegant idé inom talteori.