«Ким миллионер болгусу келет» журналында жакында Гюнтер Жауч ойлонушу керек болгон жакшы кичинекей суроо болду: «Сан анын акыркы эки цифрасынан түзүлсө, ар дайым \(4\) ге калдыксыз бөлүнөт...?» – жана дал ушул жерде сиз өзүңүздү жагымдуу алаксыткан нерселерге алдырып жибербей, бир саамга математикалык жактан ойлонушуңуз керек. Анткени “жуп”, “бар \(0\) ” же “кайчылаш сумма \(4\) ” деген сыяктуу жооптор бир караганда ишенүүгө татыктуу угулат, бирок туура жооп ондук системанын жөнөкөй касиетине негизделген.
\(X\) саны акыркы эки цифрасынан түзүлгөн сан \(4\) ) га бөлүнгөн шартта гана \(4\) га бөлүнөт. Далилдөө ондук бөлчөктүн көрсөтүлүшүнөн түз келип чыгат. Ар бир \(X\) натуралдык саны төмөнкүдөй түрдө уникалдуу түрдө көрсөтүлүшү мүмкүн:
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
жазыңыз, мында \(X''\) акыркы эки цифрадан түзүлгөн сан, б.а., \(0 \leq X'' < 100\) , ал эми \(X'\) сандын мурунку бөлүгү. Анткени
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
колдонулат, ээрчийт
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Биринчи кошулма \(25 \cdot 4 \cdot X'\) ар дайым \(4\) \(X'\) га карабастан. Ошондуктан, \(X\) калдыгы үчүн \(4\) бир гана \(X''\) тиешелүү болот. Формалдуу түрдө туюнтулат:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Бул, айрыкча, тиешелүү:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Ушул сыяктуу бөлүнүүчүлүк эрежелери сандын модулу боюнча \(10\) даражасы өзгөчө жөнөкөй болуп калганда пайда болот. \(4\) бөлүнүү үчүн чечүүчү фактор \(100 \equiv 0 \pmod 4\) болгон. \(0\) ордуна \(1\) же \(-1\) маанилери келгенде, бул ого бетер кызыктуу болуп калат.
Классикалык мисал катары \(11\) бөлүнүүнү келтирүүгө болот.
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Эгер бул чын болсо, анда \(11\) модулуна бөлүнгөн ондук сандын орундук маанилери ар дайым \(1\) жана \(-1\) ортосунда алмашып турат.
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Ошондуктан, төмөнкүдөй
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Сан \(11\) бөлүнөт, эгерде жана анын өзгөрмөлүү цифраларынын суммасы \(11\) бөлүнсө гана. Мисалы, \(918082\) үчүн ушундай.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
жана \(-22\) саны \(11\) санына бөлүнгөндүктөн, \(918082\) саны да \(11\) санына бөлүнөт.
Андан да көркөм эреже - бул \(7\) , \(11\) жана \(13\) бир убакта колдонуу. Ал мындай деп эсептейт
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
жана ошентип
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Эгерде сиз санды оңдон солго карай үчтөн турган блокторго бөлсөңүз, анда бул блокторду кезеги менен кошуп жана кемите аласыз.
\[
X = 123456789
\]
Ошентип, эгер бирөө карап көрсө
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Баштапкы сандын калдыгы \(7\) , \(11\) жана \(13\) модулуна жараша \(456\) санындай эле. Демек, өтө чоң санды бул үч санга бөлүнүүчүлүгүн өзгөртпөстөн, анын ордуна бир топ кичине санды колдонсо болот.
\(37\) бөлүнүү да таң калыштуу түрдө көрктүү формага ээ.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
тиешелүү
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
\(37\) үч сандын блокторун жөн гана кошсо болот. Мисалы,
\[
99937
\]
сумма
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Ал жерде
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Эгерде \(99937\) 37ге бөлүнсө, анда 99937 саны да \(37\) бөлүнөт.
Мындай эрежелер башында сандык амалдардай көрүнөт, бирок акырында ошол эле идеянын колдонулушу гана болуп саналат: ондуктун чоң даражаларын каралып жаткан сандын модулу боюнча жөнөкөй калдыктар менен алмаштыруу. Бул чоң ондук санды конгруэнцияларды камтыган жөнөкөй эсептөөгө айландырат. Дал ошондуктан мындай бөлүнүү эрежелери жөн гана арифметикалык амалдардан да көптү билдирет; алар калдыктардын модулу боюнча кыскартууну билдирет. \(10^k\): Викторина форматында алар кичинекей когнитивдик тузактар сыяктуу көрүнөт, бирок сандар теориясындагы таң калыштуу көркөм идеяга түздөн-түз алып барат.