En la lastatempa epizodo de "Kiu Volas Esti Milionulo ?", estis interesa demando, pri kiu Günther Jauch evidente devis pripensi: "Nombro ĉiam estas dividebla per \(4\) sen resto, se la nombro formita el ĝiaj lastaj du ciferoj estas...?" - kaj ĝuste tie vi devas pensi matematike por momento, anstataŭ esti allogita de la belaj distraĵoj. Ĉar dum respondoj kiel "estas para", "enhavas \(0\) , aŭ "la sumo de la ciferoj estas \(4\) " sonas kredindaj unuarigarde, la ĝusta respondo kuŝas en simpla eco de nia dekuma sistemo.
Nombro \(X\) estas dividebla per \(4\) se kaj nur se la nombro formita de ĝiaj lastaj du ciferoj estas dividebla per \(4\) . La pruvo sekvas rekte el la decimala prezento. Ĉiu natura nombro \(X\) povas esti unike reprezentita en la formo
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
skribu kie \(X''\) estas la nombro formita el la lastaj du ciferoj, t.e., \(0 \leq X'' < 100\) , kaj \(X'\) estas la antaŭa parto de la nombro. Ĉar
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
validas, sekvas
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
La unua aldono \(25 \cdot 4 \cdot X'\) estas ĉiam dividebla per \(4\) sendepende de \(X'\) . Tial, por la resto de \(X\) kiam dividita per \(4\) nur \(X''\) estas grava. Formale esprimita:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Tio validas aparte:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Similaj reguloj pri dividebleco aperas kiam ajn potenco de \(10\) modulo nombro fariĝas aparte simpla. Por dividebleco per \(4\) la decida faktoro estis, ke \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Ĝi fariĝas eĉ pli interesa kiam la valoroj \(1\) aŭ \(-1\) okazas anstataŭ \(0\) .
Klasika ekzemplo estas dividebleco per \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Se tio veras, la poziciaj valoroj de decimala nombro modulo \(11\) ĉiam alternas inter \(1\) kaj \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Tial sekvas
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Nombro estas dividebla per \(11\) se kaj nur se la sumo de ĝiaj alternaj ciferoj estas dividebla per \(11\) Ekzemple, por \(918082\) tio estas la kazo.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
kaj ĉar \(-22\) estas dividebla per \(11\) , \(918082\) estas ankaŭ dividebla per \(11\) .
Eĉ pli eleganta estas la regulo por \(7\) , \(11\) kaj \(13\) samtempe. Ĝi validas, ke
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
kaj tiel
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Se vi dividas nombron en blokojn de tri de dekstre al maldekstre, vi do povas alterne adicii kaj subtrahi ĉi tiujn blokojn. Por
\[
X = 123456789
\]
Do, se oni konsideras
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
La originala nombro havas la saman reston modulo \(7\) , \(11\) kaj \(13\) kiel \(456\) Tial, tre granda nombro povas esti anstataŭigita per signife pli malgranda sen ŝanĝi ĝian divideblecon per ĉi tiuj tri nombroj.
Dividebleco per \(37\) ankaŭ havas surprize elegantan formon. Ĉar
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
aplikiĝas
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Kiam dividebla per \(37\) la blokoj de tri povas simple esti sumigitaj. Ekzemple, de
\[
99937
\]
la sumo
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Tie
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Se \(99937\) estas dividebla per 37, tiam 99937 ankaŭ estas dividebla per \(37\) .
Tiaj reguloj komence ŝajnas esti numeraj trukoj, sed finfine estas nur aplikoj de la sama ideo: anstataŭigi grandajn potencojn de dek per simplaj restoj modulo de la koncerna nombro. Tio transformas grandan decimalan nombron en simplan kalkulon implikantan kongruecojn. Tial ĝuste tiaj divideblaj reguloj estas pli ol nuraj aritmetikaj trukoj; ili reprezentas redukton al restoj modulo. \(10^k\): En kvizformato, ili aperas kiel malgrandaj kognaj kaptiloj, sed kondukas rekte al surprize eleganta ideo en nombroteorio.