I den seneste episode af "Hvem vil være millionær ?" var der et smart lille spørgsmål, som Günther Jauch tydeligvis måtte tænke over: "Et tal er altid deleligt med \(4\) uden en rest, hvis tallet dannet af dets sidste to cifre er...?" – og det er netop her, man skal tænke matematisk et øjeblik i stedet for at blive lokket af de pæne distraktioner. For selvom svar som "er lige", "indeholder et \(0\) eller "summen af cifrene er \(4\) " lyder plausible ved første øjekast, ligger det rigtige svar i en simpel egenskab ved vores decimalsystem.
Et tal \(X\) er deleligt med \(4\) hvis og kun hvis tallet dannet af dets sidste to cifre er deleligt med \(4\) . Beviset følger direkte af decimalrepræsentationen. Ethvert naturligt tal \(X\) kan entydigt repræsenteres på formen
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
skriv hvor \(X''\) er tallet dannet af de sidste to cifre, dvs. \(0 \leq X'' < 100\) , og \(X'\) er den foregående del af tallet. Da
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
gælder, følger
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Det første addendum \(25 \cdot 4 \cdot X'\) er altid deleligt med \(4\) uanset \(X'\) . Derfor er det kun \(X''\) relevant for resten af \(X\) \(4\) . Formelt udtrykt:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Dette gælder især:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Lignende delelighedsregler opstår, når en potens af \(10\) modulo af et tal bliver særligt simpel. For delelighed med \(4\) var den afgørende faktor, at \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Det bliver endnu mere interessant, når værdierne \(1\) eller \(-1\) forekommer i stedet for \(0\) .
Et klassisk eksempel er delelighed med \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Hvis dette er sandt, veksler pladsværdierne for et decimaltal modulo \(11\) altid mellem \(1\) og \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Derfor følger det
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Et tal er deleligt med \(11\) hvis og kun hvis summen af dets skiftende cifre er delelig med \(11\) For eksempel er dette tilfældet for \(918082\) .
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
og da \(-22\) er delelig med \(11\) , er \(918082\) også delelig med \(11\) .
Endnu mere elegant er reglen for \(7\) , \(11\) og \(13\) samtidigt. Den gælder, at
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
og dermed
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Hvis du opdeler et tal i blokke på tre fra højre mod venstre, kan du derfor skiftevis addere og subtrahere disse blokke.
\[
X = 123456789
\]
Så hvis man overvejer
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Det oprindelige tal har den samme rest, modulo \(7\) , \(11\) og \(13\) som \(456\) Derfor kan et meget stort tal erstattes af et betydeligt mindre tal uden at ændre dets delelighed med disse tre tal.
Delelighed med \(37\) har også en overraskende elegant form.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
gælder
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Når de er delelige med \(37\) kan blokkene af tre blot lægges sammen. For eksempel fra
\[
99937
\]
summen
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Der
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Hvis \(99937\) er deleligt med 37, så er 99937 også deleligt med \(37\) .
Sådanne regler virker i første omgang som numeriske tricks, men er i sidste ende blot anvendelser af den samme idé: at erstatte store potenser af ti med simple rester modulo af det pågældende tal. Dette omdanner et stort decimaltal til en simpel beregning, der involverer kongruenser. Det er netop derfor, at sådanne delelighedsregler er mere end blot aritmetiske tricks; de repræsenterer en reduktion til rester modulo. \(10^k\): I quizformat fremstår de som små kognitive fælder, men fører direkte til en overraskende elegant idé inden for talteori.