«Ո՞վ է ուզում դառնալ միլիոնատեր » հաղորդման վերջին թողարկման ժամանակ կար մի հետաքրքիր փոքրիկ հարց, որի մասին Գյունտեր Յաուխը, անկասկած, պետք է մտածեր. «Թիվը միշտ բաժանվում է \(4\) ի առանց մնացորդի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններից կազմված թիվը... է»։ Եվ հենց սա է այն հարցը, թե ինչու դուք պետք է մի պահ մաթեմատիկորեն մտածեք, այլ ոչ թե գայթակղվեք գեղեցիկ շեղող գործոններով։ Քանի որ, մինչդեռ «զույգ է», «պարունակում է \(0\) կամ «թվանշանների գումարը \(4\) է» նման պատասխանները առաջին հայացքից հավանական են հնչում, ճիշտ պատասխանը կայանում է մեր տասնորդական համակարգի պարզ հատկության մեջ։
\(X\) թիվը բաժանվում է \(4\) -ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է \(4\) -ի։ Ապացույցը ուղղակիորեն բխում է տասնորդական ներկայացումից։ Յուրաքանչյուր բնական թիվ \(X\) կարող է միանշանակ ներկայացվել հետևյալ ձևով՝
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
գրեք, որտեղ \(X''\) ը վերջին երկու թվանշաններից կազմված թիվն է, այսինքն \(0 \leq X'' < 100\) , իսկ \(X'\) թվի նախորդող մասն է։ Քանի որ
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
կիրառվում է, հետևում է
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Առաջին գումարելին \(25 \cdot 4 \cdot X'\) ը միշտ բաժանվում է \(4\) -ի՝ անկախ \(X'\) -ից։ Հետևաբար, \(X\) -ի մնացորդի համար, երբ այն բաժանվում է \(4\) միայն \(X''\) ն է կարևոր։ Ֆորմալ կերպով արտահայտված է:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Սա վերաբերում է մասնավորապես:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Նմանատիպ բաժանելիության կանոններ առաջանում են, երբ \(10\) աստիճանի մոդուլային թիվը դառնում է հատկապես պարզ։ \(4\) -ի բաժանելիության համար վճռորոշ գործոնն այն էր, որ \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Ավելի հետաքրքիր է դառնում, երբ \(0\) փոխարեն հանդիպում են \(1\) կամ \(-1\) արժեքները։
Դասական օրինակ է \(11\) -ի բաժանելիությունը։
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Եթե սա ճիշտ է, տասնորդական թվի մոդուլ \(11\) -ի տեղային արժեքները միշտ տատանվում են \(1\) և \(-1\) միջև։
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Հետևաբար, հետևում է
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Թիվը բաժանվում է \(11\) ի միայն այն դեպքում, եթե նրա հերթագայող թվանշանների գումարը բաժանվում է \(11\) ի։ Օրինակ \(918082\) թվի դեպքում դա այդպես է։
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
և քանի որ \(-22\) -ը բաժանվում է \(11\) -ի, ապա \(918082\) ը նույնպես բաժանվում է \(11\) ի։
Ավելի նրբագեղ է կանոնը միաժամանակ \(7\) , \(11\) և \(13\) -ի համար։ Այն պնդում է, որ
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
և այսպես
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Եթե թիվը աջից ձախ բաժանում եք երեքական բլոկների, հետևաբար, կարող եք հերթագայաբար գումարել և հանել այդ բլոկները։
\[
X = 123456789
\]
Այսպիսով, եթե մեկը հաշվի առնի
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Սկզբնական թիվը նույն մնացորդն ունի՝ մոդուլ \(7\) , \(11\) և \(13\) , ինչ \(456\) ը։ Հետևաբար, շատ մեծ թիվը կարելի է փոխարինել զգալիորեն փոքրով՝ առանց փոխելու դրա բաժանելիությունը այս երեք թվերի վրա։
\(37\) -ի բաժանելիությունը նույնպես զարմանալիորեն նրբագեղ ձև ունի։ Քանի որ
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
կիրառվում է
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Երբ բաժանվում է \(37\) երեքի բլոկները կարելի է պարզապես գումարել իրար։ Օրինակ՝
\[
99937
\]
գումարը
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Այնտեղ
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Եթե \(99937\) բաժանվում է 37-ի, ապա 99937-ը նույնպես բաժանվում է \(37\) ի։
Նման կանոնները սկզբում թվացյալ հնարքներ են, բայց, ի վերջո, նույն գաղափարի պարզապես կիրառություններն են՝ տասի մեծ աստիճանները փոխարինել տվյալ թվի պարզ մնացորդներով՝ մոդուլով։ Սա մեծ տասնորդական թիվը վերածում է համընկնումներ ներառող պարզ հաշվարկի։ Ահա թե ինչու բաժանելիության նման կանոնները ավելին են, քան պարզապես թվաբանական հնարքներ. դրանք ներկայացնում են մնացորդների մոդուլով կրճատում։ \(10^k\): Վիկտորինայի ձևաչափով դրանք հանդես են գալիս որպես փոքր ճանաչողական թակարդներ, բայց ուղղակիորեն հանգեցնում են թվերի տեսության զարմանալիորեն նրբագեղ գաղափարի։