在最近一期的《谁想成为百万富翁？》节目中，有一个颇为巧妙的小问题，让冈瑟·尧赫（Günther Jauch）不得不认真思考一番： “如果一个数的最后两位数字是……，那么这个数一定能被\(4\)整除而没有余数？” ——这正是需要你暂时放下那些花哨的答案，认真思考数学原理的地方。因为像“是偶数”、“包含\(0\)或“各位数字之和为\(4\) ”这样的答案乍听之下似乎合情合理，但正确答案却隐藏在我们十进制系统的一个简单的性质之中。
一个数\(X\)能被\(4\)整除，当且仅当由它的后两位数字组成的数能被\(4\)整除。这个证明可以直接从十进制表示得出。每个自然数\(X\)都可以唯一地表示为以下形式：
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
其中\(X''\)是由最后两位数字组成的数，即\(0 \leq X'' < 100\) ， \(X'\)是该数的前两位数字。由于
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
适用，遵循
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
第一个加数\(25 \cdot 4 \cdot X'\)始终能被\(4\)与\(X'\)无关。因此，对于\(X\)除以\(4\)只有\(X''\)是相关的。形式化表达:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
这一点尤其适用。:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
当\(10\)幂对某个数取模变得特别简单时，就会出现类似的整除规则。例如，对于\(4\)关键在于\(100 \equiv 0 \pmod 4\)当\(0\)被\(1\)或\(-1\)代替时，情况就变得更加有趣了。
一个经典的例子是能否被\(11\)整除。
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
如果这是真的，则十进制数模\(11\)的位值总是在\(1\)和\(-1\)之间交替。
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
因此，由此可得
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
一个数能被\(11\)整除，当且仅当它的相邻数字之和能被\(11\)整除。例如， \(918082\)就是这种情况。
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
因为\(-22\)能被\(11\)整除，所以\(918082\)也能被\(11\)整除。
更为简洁的是同时适用于\(7\) 、 \(11\)和\(13\)的规则。该规则指出：
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
因此
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
如果将一个数从右到左分成若干个三数组，就可以交替地对这些数组进行加减运算。
\[
X = 123456789
\]
所以，如果考虑到
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
原数与\(456\)模\(7\) 、模\(11\)和模\(13\)的余数相同。因此，一个很大的数可以用一个小得多的数来代替，而不会改变它能被这三个数整除的性质。
能被\(37\)整除的形式也出人意料地优雅。
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
适用
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
当数字能被\(37\)三个一组的数字可以直接相加。例如，从
\[
99937
\]
总和
\[
99 + 937 = 1036.
\]
那里
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
如果\(99937\)能被 37 整除，那么 99937 也能被\(37\)整除。
这些规则乍看之下像是数字技巧，但归根结底只是同一思想的应用：将大十的幂替换为对目标数取模的余数。这使得一个大的十进制数转化为涉及同余关系的简单计算。正因如此，这些整除规则不仅仅是简单的算术技巧；它们代表着对目标数取模余数的简化。 \(10^k\): 以测验的形式出现，它们看起来像是小小的认知陷阱，但却直接引出了数论中一个令人惊讶的优雅思想。