Nell'ultima puntata di "Chi vuol essere milionario ?", c'era una domanda ingegnosa su cui Günther Jauch ha chiaramente dovuto riflettere: "Un numero è sempre divisibile per \(4\) senza resto se il numero formato dalle sue ultime due cifre è...?" – ed è proprio qui che bisogna pensare matematicamente per un attimo, invece di lasciarsi ingannare dalle belle distrazioni. Perché mentre risposte come "è pari", "contiene uno \(0\) o "la somma delle cifre è \(4\) " sembrano plausibili a prima vista, la risposta corretta risiede in una semplice proprietà del nostro sistema decimale.
Un numero \(X\) è divisibile per \(4\) se e solo se il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per \(4\) . La dimostrazione segue direttamente dalla rappresentazione decimale. Ogni numero naturale \(X\) può essere rappresentato in modo univoco nella forma
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
scrivi dove \(X''\) è il numero formato dalle ultime due cifre, cioè \(0 \leq X'' < 100\) , e \(X'\) è la parte precedente del numero. Poiché
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
si applica, segue
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Il primo addendo \(25 \cdot 4 \cdot X'\) è sempre divisibile per \(4\) indipendentemente da \(X'\) . Pertanto, per il resto di \(X\) quando diviso per \(4\) è rilevante solo \(X''\) . Espresso formalmente:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Ciò vale in particolare:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Regole di divisibilità simili si presentano ogni volta che una potenza di \(10\) modulo un numero diventa particolarmente semplice. Per la divisibilità per \(4\) il fattore cruciale era che \(100 \equiv 0 \pmod 4\) La cosa diventa ancora più interessante quando i valori \(1\) o \(-1\) compaiono al posto di \(0\) .
Un esempio classico è la divisibilità per \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Se ciò è vero, i valori posizionali di un numero decimale modulo \(11\) si alternano sempre tra \(1\) e \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Ne consegue pertanto
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Un numero è divisibile per \(11\) se e solo se la somma delle sue cifre alternate è divisibile per \(11\) Per esempio, \(918082\) è questo il caso.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
e poiché \(-22\) è divisibile per \(11\) , anche \(918082\) è divisibile per \(11\) .
Ancora più elegante è la regola per \(7\) , \(11\) e \(13\) simultaneamente. Essa vale che
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
e quindi
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Se dividi un numero in blocchi di tre da destra a sinistra, puoi quindi sommare e sottrarre questi blocchi alternativamente. Per
\[
X = 123456789
\]
Quindi, se si considera
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Il numero originale ha lo stesso resto modulo \(7\) , \(11\) e \(13\) di \(456\) Pertanto, un numero molto grande può essere sostituito da uno significativamente più piccolo senza che la sua divisibilità per questi tre numeri cambi.
La divisibilità per \(37\) ha anche una forma sorprendentemente elegante.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
si applica
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Quando divisibile per \(37\) i blocchi di tre possono essere semplicemente sommati. Ad esempio, da
\[
99937
\]
la somma
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Là
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Se \(99937\) è divisibile per 37, allora 99937 è divisibile anche per \(37\) .
Tali regole inizialmente sembrano trucchi numerici, ma in realtà sono solo applicazioni della stessa idea: sostituire le grandi potenze di dieci con semplici resti modulo il numero in questione. Questo trasforma un grande numero decimale in un semplice calcolo che coinvolge congruenze. Ecco perché tali regole di divisibilità sono più che semplici trucchi aritmetici; rappresentano una riduzione ai resti modulo \(10^k\): In formato quiz, appaiono come piccole trappole cognitive, ma conducono direttamente a un'idea sorprendentemente elegante nella teoria dei numeri.