در قسمت اخیر برنامه «چه کسی میخواهد میلیونر شود ؟»، یک سوال کوچک و جالب وجود داشت که گونتر یاوش به وضوح باید به آن فکر میکرد: «یک عدد همیشه بدون باقیمانده بر \(4\) بخشپذیر است اگر عدد تشکیل شده از دو رقم آخر آن ... باشد؟» - و این دقیقاً همان جایی است که شما باید برای لحظهای به جای اینکه فریب حواسپرتیهای زیبا را بخورید، ریاضی فکر کنید. زیرا اگرچه پاسخهایی مانند «زوج است»، «شامل \(0\) یا «مجموع ارقام \(4\) است» در نگاه اول قابل قبول به نظر میرسند، اما پاسخ صحیح در یک ویژگی ساده از سیستم اعشاری ما نهفته است.
یک عدد \(X\) بر \(4\) بخشپذیر است اگر و تنها اگر عددی که از دو رقم آخر آن تشکیل شده است بر \(4\) بخشپذیر باشد. اثبات مستقیماً از نمایش اعشاری پیروی میکند. هر عدد طبیعی \(X\) را میتوان به صورت منحصر به فرد به شکل زیر نمایش داد:
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
بنویسید که در آن \(X''\) عددی است که از دو رقم آخر تشکیل شده است، یعنی \(0 \leq X'' < 100\) ، و \(X'\) قسمت قبلی عدد است. از آنجایی که
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
اعمال میشود، پیروی میکند
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
اولین جمع \(25 \cdot 4 \cdot X'\) همیشه بر \(4\) صرف نظر از \(X'\) . بنابراین، برای باقیمانده \(X\) هنگام تقسیم بر \(4\) فقط \(X''\) مربوط است. به طور رسمی بیان شده است:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
این به ویژه صدق میکند:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
هر زمان که یک عدد به پیمانه توانی از \(10\) ساده شود، قوانین بخشپذیری مشابهی ایجاد میشوند. برای بخشپذیری بر \(4\) عامل حیاتی این بود که \(100 \equiv 0 \pmod 4\) وقتی به جای \(0\) ، مقادیر \(1\) یا \(-1\) ظاهر میشوند، موضوع جالبتر هم میشود.
یک مثال کلاسیک، بخشپذیری بر \(11\) است.
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
اگر این درست باشد، مقادیر مکانی یک عدد اعشاری به پیمانه \(11\) همیشه بین \(1\) و \(-1\) متناوب هستند.
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
بنابراین از این قرار است
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
یک عدد بر \(11\) بخشپذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام متناوب آن بر \(11\) بخشپذیر باشد. برای مثال، برای \(918082\) این مورد صادق است.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
و از آنجایی که \(-22\) بر \(11\) بخشپذیر است، \(918082\) نیز بر \(11\) بخشپذیر است.
حتی از این هم زیباتر، قاعدهی مربوط به \(7\) ، \(11\) و \(13\) به طور همزمان است. این قاعده میگوید:
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
و بنابراین
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
اگر عددی را از راست به چپ به بلوکهای سهتایی تقسیم کنید، میتوانید این بلوکها را به طور متناوب جمع و تفریق کنید. برای
\[
X = 123456789
\]
بنابراین، اگر کسی در نظر بگیرد
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
عدد اصلی به پیمانه \(7\) ، \(11\) و \(13\) ، باقیماندهای برابر با \(456\) دارد. بنابراین، یک عدد بسیار بزرگ را میتوان با عددی بسیار کوچکتر جایگزین کرد، بدون اینکه بخشپذیری آن بر این سه عدد تغییر کند.
بخشپذیری بر \(37\) نیز شکل شگفتانگیزی دارد.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
اعمال میشود
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
وقتی بر \(37\) میتوان به سادگی بلوکهای سهتایی را با هم جمع کرد. برای مثال، از
\[
99937
\]
مجموع
\[
99 + 937 = 1036.
\]
آنجا
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
اگر \(99937\) بر ۳۷ بخشپذیر باشد، آنگاه ۹۹۹۳۷ نیز بر \(37\) بخشپذیر است.
چنین قوانینی در ابتدا ترفندهای عددی به نظر میرسند، اما در نهایت فقط کاربردهای یک ایده هستند: جایگزینی توانهای بزرگ ده با باقیماندههای ساده به پیمانه عدد مورد نظر. این کار یک عدد اعشاری بزرگ را به یک محاسبه ساده شامل همنهشتی تبدیل میکند. دقیقاً به همین دلیل است که چنین قوانین تقسیمپذیری چیزی بیش از ترفندهای حسابی صرف هستند. آنها نشان دهنده تقلیل به باقیماندهها به پیمانه هستند. \(10^k\): در قالب مسابقه، آنها به صورت تلههای شناختی کوچک ظاهر میشوند، اما مستقیماً به یک ایده شگفتانگیز و زیبا در نظریه اعداد منجر میشوند.