În episodul recent al emisiunii „Cine vrea să fie milionar ?”, a apărut o întrebare ingenioasă la care Günther Jauch a trebuit, evident, să se gândească: „Un număr este întotdeauna divizibil cu \(4\) fără rest dacă numărul format din ultimele sale două cifre este...?” – și exact aici trebuie să gândești matematic pentru o clipă, în loc să te lași atras de distragerile frumoase. Pentru că, deși răspunsuri precum „este par”, „conține un \(0\) sau „suma cifrelor este \(4\) ” sună plauzibil la prima vedere, răspunsul corect se află într-o proprietate simplă a sistemului nostru zecimal.
Un număr \(X\) este divizibil cu \(4\) dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale două cifre este divizibil cu \(4\) . Demonstrația rezultă direct din reprezentarea zecimală. Fiecare număr natural \(X\) poate fi reprezentat în mod unic sub forma
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
scrieți unde \(X''\) este numărul format din ultimele două cifre, adică \(0 \leq X'' < 100\) și \(X'\) este partea precedentă a numărului. Deoarece
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
se aplică, urmează
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Primul adunător \(25 \cdot 4 \cdot X'\) este întotdeauna divizibil cu \(4\) indiferent de \(X'\) . Prin urmare, pentru restul lui \(X\) când este împărțit la \(4\) doar \(X''\) este relevant. Exprimat formal:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Acest lucru se aplică în special:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Reguli similare de divizibilitate apar ori de câte ori o putere a lui \(10\) modulo a unui număr devine deosebit de simplă. Pentru divizibilitatea cu \(4\) factorul crucial a fost acela că \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Devine și mai interesant atunci când valorile \(1\) sau \(-1\) apar în loc de \(0\) .
Un exemplu clasic este divizibilitatea cu \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Dacă acest lucru este adevărat, valorile poziționale ale unui număr zecimal modulo \(11\) alternează întotdeauna între \(1\) și \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Prin urmare, rezultă
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Un număr este divizibil cu \(11\) dacă și numai dacă suma cifrelor sale alternante este divizibilă cu \(11\) De exemplu, acesta este cazul pentru \(918082\) .
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
și deoarece \(-22\) este divizibil cu \(11\) , \(918082\) este, de asemenea, divizibil cu \(11\) .
Și mai elegantă este regula pentru \(7\) , \(11\) și \(13\) simultan. Aceasta susține că
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
și, astfel
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Dacă împărțiți un număr în blocuri de câte trei de la dreapta la stânga, puteți, prin urmare, aduna și scădea aceste blocuri alternativ. De exemplu
\[
X = 123456789
\]
Deci, dacă se ia în considerare
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Numărul original are același rest modulo \(7\) , \(11\) și \(13\) ca și \(456\) Prin urmare, un număr foarte mare poate fi înlocuit cu unul semnificativ mai mic fără a-i schimba divizibilitatea cu aceste trei numere.
Divizibilitatea cu \(37\) are, de asemenea, o formă surprinzător de elegantă. Deoarece
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
se aplică
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Când sunt divizibile la \(37\) blocurile de trei pot fi pur și simplu adunate. De exemplu, din
\[
99937
\]
suma
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Acolo
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Dacă \(99937\) este divizibil cu 37, atunci și 99937 este divizibil cu \(37\) .
Astfel de reguli par inițial trucuri numerice, dar în cele din urmă sunt doar aplicații ale aceleiași idei: înlocuirea puterilor mari ale lui zece cu resturi simple modulo al numărului în cauză. Aceasta transformă un număr zecimal mare într-un calcul simplu care implică congruențe. Tocmai de aceea, astfel de reguli de divizibilitate sunt mai mult decât simple trucuri aritmetice; ele reprezintă o reducere la resturi modulo. \(10^k\): În format de test, acestea par ca niște mici capcane cognitive, dar duc direct la o idee surprinzător de elegantă din teoria numerelor.