In de recente aflevering van "Wie wil miljonair worden ?" was er een slimme vraag waar Günther Jauch duidelijk even over na moest denken: "Een getal is altijd deelbaar door \(4\) zonder rest als het getal gevormd door de laatste twee cijfers gelijk is aan...?" – en dit is precies waar je even wiskundig moet nadenken, in plaats van je te laten afleiden door de mooie details. Want hoewel antwoorden zoals "is even", "bevat een \(0\) of "de som van de cijfers is \(4\) " op het eerste gezicht plausibel klinken, ligt het juiste antwoord in een simpele eigenschap van ons decimale stelsel.
Een getal \(X\) is deelbaar door \(4\) als en slechts als het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door \(4\) . Het bewijs volgt direct uit de decimale weergave. Elk natuurlijk getal \(X\) kan uniek worden weergegeven in de vorm
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
Schrijf waarbij \(X''\) het getal is dat gevormd wordt uit de laatste twee cijfers, d.w.z. \(0 \leq X'' < 100\) , en \(X'\) het voorgaande deel van het getal is. Omdat
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
van toepassing, volgt
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
De eerste term \(25 \cdot 4 \cdot X'\) is altijd deelbaar door \(4\) ongeacht \(X'\) . Daarom is voor de rest van \(X\) bij deling door \(4\) alleen \(X''\) relevant. Formeel uitgedrukt:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Dit geldt met name voor:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Vergelijkbare deelbaarheidsregels ontstaan wanneer een macht van \(10\) modulo een getal bijzonder eenvoudig wordt. Voor deelbaarheid door \(4\) was de cruciale factor dat \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Het wordt nog interessanter wanneer de waarden \(1\) of \(-1\) in plaats van \(0\) voorkomen.
Een klassiek voorbeeld is deelbaarheid door \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Als dit waar is, wisselen de plaatswaarden van een decimaal getal modulo \(11\) altijd af tussen \(1\) en \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Hieruit volgt dus
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Een getal is deelbaar door \(11\) als en slechts als de som van de afwisselende cijfers deelbaar is door \(11\) Voor \(918082\) is dit bijvoorbeeld het geval.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
En aangezien \(-22\) deelbaar is door \(11\) , is \(918082\) ook deelbaar door \(11\) .
Nog eleganter is de regel voor \(7\) , \(11\) en \(13\) tegelijkertijd. Deze stelt dat
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
en daarom
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Als je een getal van rechts naar links in blokken van drie verdeelt, kun je deze blokken afwisselend optellen en aftrekken.
\[
X = 123456789
\]
Dus, als men bedenkt
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Het oorspronkelijke getal heeft dezelfde rest modulo \(7\) , \(11\) en \(13\) als \(456\) Daarom kan een zeer groot getal worden vervangen door een aanzienlijk kleiner getal zonder dat de deelbaarheid door deze drie getallen verandert.
Deelbaarheid door \(37\) heeft ook een verrassend elegante vorm. Omdat
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
van toepassing
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Als een getal deelbaar is door \(37\) kunnen de blokken van drie eenvoudig bij elkaar worden opgeteld. Bijvoorbeeld, van
\[
99937
\]
de som
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Daar
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Als \(99937\) deelbaar is door 37, dan is 99937 ook deelbaar door \(37\) .
Dergelijke regels lijken aanvankelijk numerieke trucjes, maar zijn uiteindelijk slechts toepassingen van hetzelfde idee: het vervangen van grote machten van tien door eenvoudige restanten modulo het betreffende getal. Dit transformeert een groot decimaal getal in een eenvoudige berekening met congruentievergelijkingen. Juist daarom zijn dergelijke deelbaarheidsregels meer dan louter rekenkundige trucjes; ze vertegenwoordigen een reductie tot restanten modulo. \(10^k\): In quizvorm lijken ze kleine cognitieve valkuilen, maar ze leiden rechtstreeks naar een verrassend elegant idee in de getaltheorie.