Στο πρόσφατο επεισόδιο της σειράς "Ποιος θέλει να γίνει εκατομμυριούχος ;", υπήρχε μια ωραία μικρή ερώτηση που ο Günther Jauch έπρεπε προφανώς να σκεφτεί: "Ένας αριθμός διαιρείται πάντα με \(4\) χωρίς υπόλοιπο αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του είναι...;" - και ακριβώς εδώ πρέπει να σκεφτείτε μαθηματικά για μια στιγμή, αντί να σας παρασύρουν οι όμορφες περισπασμοί. Επειδή, ενώ απαντήσεις όπως "είναι ζυγός", "περιέχει \(0\) ή "το άθροισμα των ψηφίων είναι \(4\) " ακούγονται εύλογες με την πρώτη ματιά, η σωστή απάντηση βρίσκεται σε μια απλή ιδιότητα του δεκαδικού μας συστήματος.
Ένας αριθμός \(X\) διαιρείται με \(4\) αν και μόνο αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το \(4\) . Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την δεκαδική αναπαράσταση. Κάθε φυσικός αριθμός \(X\) μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά με τη μορφή
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
γράψτε όπου \(X''\) είναι ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία, δηλαδή, \(0 \leq X'' < 100\) , και \(X'\) είναι το προηγούμενο μέρος του αριθμού. Εφόσον
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
ισχύει, ακολουθεί
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Ο πρώτος προσθετος \(25 \cdot 4 \cdot X'\) διαιρείται πάντα με το \(4\) ανεξάρτητα από το \(X'\) . Επομένως, για το υπόλοιπο του \(X\) όταν διαιρείται με το \(4\) μόνο \(X''\) είναι σχετικό. Τυπικά εκφρασμένο:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Αυτό ισχύει ιδιαίτερα:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Παρόμοιοι κανόνες διαιρετότητας προκύπτουν κάθε φορά που μια δύναμη του \(10\) modulo ενός αριθμού γίνεται ιδιαίτερα απλή. Για τη διαιρετότητα με \(4\) ο κρίσιμος παράγοντας ήταν ότι \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Γίνεται ακόμη πιο ενδιαφέρον όταν οι τιμές \(1\) ή \(-1\) εμφανίζονται αντί για \(0\) .
Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η διαιρετότητα με \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Αν αυτό ισχύει, οι τιμές θέσης ενός δεκαδικού αριθμού modulo \(11\) εναλλάσσονται πάντα μεταξύ \(1\) και \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Επομένως, ακολουθεί
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Ένας αριθμός διαιρείται με \(11\) αν και μόνο αν το άθροισμα των εναλλασσόμενων ψηφίων του διαιρείται με το \(11\) Για παράδειγμα, για τον \(918082\) αυτό ισχύει.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
και επειδή \(-22\) διαιρείται με το \(11\) , \(918082\) διαιρείται επίσης με το \(11\) .
Ακόμα πιο κομψός είναι ο κανόνας για \(7\) , \(11\) και \(13\) ταυτόχρονα. Ισχύει ότι
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
και έτσι
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Αν διαιρέσετε έναν αριθμό σε μπλοκ των τριών από δεξιά προς τα αριστερά, μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε αυτά τα μπλοκ εναλλάξ.
\[
X = 123456789
\]
Έτσι, αν κάποιος σκεφτεί
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Ο αρχικός αριθμός έχει το ίδιο υπόλοιπο modulo \(7\) , \(11\) και \(13\) όπως \(456\) Επομένως, ένας πολύ μεγάλος αριθμός μπορεί να αντικατασταθεί από έναν σημαντικά μικρότερο χωρίς να αλλάξει η διαιρετότητά του με αυτούς τους τρεις αριθμούς.
Η διαιρετότητα με \(37\) έχει επίσης μια εκπληκτικά κομψή μορφή. Από τότε
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
ισχύει
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Όταν διαιρούνται με \(37\) τα μπλοκ των τριών μπορούν απλώς να προστεθούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, από
\[
99937
\]
το άθροισμα
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Εκεί
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Αν \(99937\) διαιρείται με το 37, τότε το 99937 διαιρείται επίσης με \(37\) .
Τέτοιοι κανόνες αρχικά φαίνονται να είναι αριθμητικά κόλπα, αλλά τελικά είναι απλώς εφαρμογές της ίδιας ιδέας: αντικατάσταση μεγάλων δυνάμεων του δέκα με απλά υπόλοιπα modulo του εν λόγω αριθμού. Αυτό μετατρέπει έναν μεγάλο δεκαδικό αριθμό σε έναν απλό υπολογισμό που περιλαμβάνει ισοδυναμίες. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο τέτοιοι κανόνες διαιρετότητας είναι κάτι περισσότερο από απλά αριθμητικά κόλπα. Αντιπροσωπεύουν μια αναγωγή σε υπόλοιπα modulo. \(10^k\): Σε μορφή κουίζ, εμφανίζονται ως μικρές γνωστικές παγίδες, αλλά οδηγούν απευθείας σε μια εκπληκτικά κομψή ιδέα στη θεωρία αριθμών.