Pada episode terbaru "Who Wants to Be a Millionaire ?", ada pertanyaan kecil yang menarik yang jelas-jelas harus dipikirkan oleh Günther Jauch: "Suatu angka selalu habis dibagi \(4\) tanpa sisa jika angka yang dibentuk dari dua digit terakhirnya adalah...?" – dan di sinilah Anda harus berpikir secara matematis sejenak, alih-alih terbuai oleh hal-hal yang menarik. Karena meskipun jawaban seperti "adalah genap", "mengandung \(0\) , atau "jumlah digitnya adalah \(4\) " terdengar masuk akal pada pandangan pertama, jawaban yang benar terletak pada sifat sederhana dari sistem desimal kita.
Suatu bilangan \(X\) habis dibagi \(4\) jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya habis dibagi \(4\) . Buktinya langsung mengikuti dari representasi desimal. Setiap bilangan asli \(X\) dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
Tuliskan di mana \(X''\) adalah angka yang dibentuk dari dua digit terakhir, yaitu, \(0 \leq X'' < 100\) , dan \(X'\) adalah bagian sebelumnya dari angka tersebut. Karena
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
berlaku, mengikuti
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Suku pertama yang dijumlahkan \(25 \cdot 4 \cdot X'\) selalu habis dibagi \(4\) terlepas dari \(X'\) . Oleh karena itu, untuk sisa pembagian \(X\) oleh \(4\) hanya \(X''\) yang relevan. Secara formal dinyatakan:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Hal ini berlaku khususnya:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Aturan keterdivisian serupa muncul setiap kali pangkat \(10\) modulo suatu bilangan menjadi sangat sederhana. Untuk keterdivisian oleh \(4\) faktor pentingnya adalah \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Hal ini menjadi lebih menarik lagi ketika nilai \(1\) atau \(-1\) muncul sebagai pengganti \(0\) .
Contoh klasiknya adalah keterdivisian oleh \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Jika ini benar, nilai tempat suatu bilangan desimal modulo \(11\) selalu bergantian antara \(1\) dan \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Suatu bilangan habis dibagi \(11\) jika dan hanya jika jumlah angka-angka yang berselang-seling dengannya habis dibagi \(11\) Misalnya, untuk \(918082\) hal ini berlaku.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
dan karena \(-22\) habis dibagi \(11\) , \(918082\) juga habis dibagi \(11\) .
Bahkan lebih elegan lagi adalah aturan untuk \(7\) , \(11\) dan \(13\) secara bersamaan. Aturan ini menyatakan bahwa
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
dan dengan demikian
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Jika Anda membagi suatu angka menjadi tiga bagian yang masing-masing terdiri dari tiga bagian dari kanan ke kiri, maka Anda dapat menambahkan dan mengurangi bagian-bagian tersebut secara bergantian. Untuk
\[
X = 123456789
\]
Jadi, jika seseorang mempertimbangkan
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Angka aslinya memiliki sisa modulo \(7\) , \(11\) dan \(13\) yang sama dengan \(456\) Oleh karena itu, angka yang sangat besar dapat digantikan oleh angka yang jauh lebih kecil tanpa mengubah keterdivisiannya oleh ketiga angka tersebut.
Keterdivisian oleh \(37\) juga memiliki bentuk yang sangat elegan. Karena
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
berlaku
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Jika habis dibagi \(37\) blok tiga tersebut dapat langsung dijumlahkan. Misalnya, dari
\[
99937
\]
jumlah
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Di sana
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Jika \(99937\) habis dibagi 37, maka 99937 juga habis dibagi \(37\) .
Aturan-aturan tersebut pada awalnya tampak seperti trik numerik, tetapi pada akhirnya hanyalah penerapan ide yang sama: mengganti pangkat sepuluh yang besar dengan sisa sederhana modulo angka yang bersangkutan. Ini mengubah angka desimal besar menjadi perhitungan sederhana yang melibatkan kekongruan. Itulah mengapa aturan keterdivisian tersebut lebih dari sekadar trik aritmatika; aturan tersebut mewakili reduksi menjadi sisa modulo \(10^k\): Dalam format kuis, hal itu tampak seperti jebakan kognitif kecil, tetapi mengarah langsung ke ide yang sangat elegan dalam teori bilangan.