នៅក្នុងវគ្គថ្មីៗនេះនៃកម្មវិធី "តើអ្នកណាចង់ក្លាយជាសេដ្ឋី ?" មានសំណួរតូចមួយដែលលោក Günther Jauch ច្បាស់ជាត្រូវគិតអំពី៖ "ចំនួនមួយតែងតែចែកបានដោយ \(4\) ដោយគ្មានសំណល់ ប្រសិនបើចំនួនដែលបង្កើតឡើងពីខ្ទង់ពីរចុងក្រោយរបស់វាគឺ...?" - ហើយនេះជាកន្លែងដែលអ្នកត្រូវគិតតាមគណិតវិទ្យាមួយភ្លែត ជំនួសឱ្យការត្រូវបានទាក់ទាញដោយការរំខានដ៏ស្រស់ស្អាត។ ពីព្រោះខណៈពេលដែលចម្លើយដូចជា "ជាចំនួនគូ", "មាន \(0\) ឬ "ផលបូកនៃខ្ទង់គឺ \(4\) " ស្តាប់ទៅគួរឱ្យជឿជាក់នៅពេលមើលដំបូង ចម្លើយត្រឹមត្រូវស្ថិតនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញនៃប្រព័ន្ធទសភាគរបស់យើង។
ចំនួន \(X\) អាចចែកបានដោយ \(4\) លុះត្រាតែចំនួនដែលបង្កើតឡើងដោយខ្ទង់ពីរចុងក្រោយរបស់វាអាចចែកបានដោយ \(4\) ។ ភស្តុតាងធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីការតំណាងទសភាគ។ ចំនួនធម្មជាតិ \(X\) នីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងតែមួយគត់ក្នុងទម្រង់
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
សរសេរដែល \(X''\) ជាចំនួនដែលបង្កើតឡើងពីខ្ទង់ពីរចុងក្រោយ ពោលគឺ \(0 \leq X'' < 100\) និង \(X'\) ជាផ្នែកមុននៃចំនួន។ ដោយសារ
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
អនុវត្ត, ធ្វើតាម
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
ផលបូកទីមួយ \(25 \cdot 4 \cdot X'\) តែងតែអាចចែកបានដោយ \(4\) ដោយមិនគិតពី \(X'\) ។ ដូច្នេះ សម្រាប់សំណល់នៃ \(X\) នៅពេលចែកនឹង \(4\) មានតែ \(X''\) ប៉ុណ្ណោះដែលពាក់ព័ន្ធ។ បានបញ្ជាក់ជាផ្លូវការ:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
នេះអនុវត្តជាពិសេស:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
ច្បាប់ចែកស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើងនៅពេលណាដែលចំនួនមួយដែលមានស្វ័យគុណ \(10\) ម៉ូឌុលក្លាយជាសាមញ្ញជាពិសេស។ ចំពោះការចែកដោយ \(4\) កត្តាសំខាន់គឺ \(100 \equiv 0 \pmod 4\) វាកាន់តែគួរឲ្យចាប់អារម្មណ៍នៅពេលដែលតម្លៃ \(1\) ឬ \(-1\) កើតឡើងជំនួសឲ្យ \(0\) ។
ឧទាហរណ៍បុរាណមួយគឺ ការបែងចែកដោយ \(11\) ។
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
ប្រសិនបើនេះជាការពិត តម្លៃក្នុងខ្ទង់នៃចំនួនទសភាគម៉ូឌុល \(11\) តែងតែឆ្លាស់គ្នារវាង \(1\) និង \(-1\) ។
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
ដូច្នេះវាធ្វើតាម
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
ចំនួនមួយអាចចែកបានដោយ \(11\) លុះត្រាតែផលបូកនៃខ្ទង់ឆ្លាស់គ្នារបស់វាអាចចែកបានដោយ \(11\) ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ \(918082\) នេះជាករណី។
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
ហើយដោយសារ \(-22\) អាចចែកបានដោយ \(11\) នោះ \(918082\) ក៏អាចចែកបានដោយ \(11\) ដែរ។
ច្បាប់សម្រាប់ \(7\) , \(11\) និង \(13\) ក្នុងពេលដំណាលគ្នាកាន់តែស្រស់ស្អាតថែមទៀត។ វាចែងថា
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
ហើយដូច្នេះ
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
ប្រសិនបើអ្នកចែកចំនួនមួយជាប្លុកដែលមានបីពីស្តាំទៅឆ្វេង អ្នកអាចបូក និងដកប្លុកទាំងនេះឆ្លាស់គ្នា។
\[
X = 123456789
\]
ដូច្នេះប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់ពិចារណា
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
ចំនួនដើមមានសំណល់ម៉ូឌុល \(7\) , \(11\) និង \(13\) ដូចគ្នានឹង \(456\) ដូច្នេះ ចំនួនធំមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយចំនួនតូចជាងច្រើនដោយមិនចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរភាពអាចចែករបស់វាដោយចំនួនទាំងបីនេះ។
ការចែកដាច់នឹង \(37\) ក៏មានទម្រង់ដ៏ប្រណិតគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលផងដែរ។
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
អនុវត្ត
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
នៅពេលដែលអាចចែកបានដោយ \(37\) ប្លុកនៃបីអាចត្រូវបានបូកបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ ពី
\[
99937
\]
ផលបូក
\[
99 + 937 = 1036.
\]
នៅទីនោះ
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
ប្រសិនបើ \(99937\) អាចចែកបានដោយ 37 នោះ 99937 ក៏អាចចែកបានដោយ \(37\) ដែរ។
ច្បាប់បែបនេះដំបូងឡើយហាក់ដូចជាល្បិចលេខ ប៉ុន្តែនៅទីបំផុតគ្រាន់តែជាការអនុវត្តនៃគំនិតដូចគ្នា៖ ការជំនួសស្វ័យគុណធំនៃដប់ជាមួយនឹងសំណល់សាមញ្ញម៉ូឌុលនៃចំនួនដែលកំពុងពិចារណា។ នេះបំលែងចំនួនទសភាគធំទៅជាការគណនាសាមញ្ញដែលពាក់ព័ន្ធនឹងភាពស្របគ្នា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលច្បាប់បែងចែកបែបនេះមានច្រើនជាងល្បិចនព្វន្តធម្មតា។ ពួកវាតំណាងឱ្យការកាត់បន្ថយទៅជាសំណល់ម៉ូឌុល។ \(10^k\): នៅក្នុងទម្រង់សំណួរសាកល្បង ពួកវាលេចឡើងជាអន្ទាក់នៃការយល់ដឹងតូចៗ ប៉ុន្តែវានាំទៅដល់គំនិតដ៏ប្រណិតគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។