हाल ही में प्रसारित हुए "हू वांट्स टू बी अ मिलियनेयर ?" के एपिसोड में एक दिलचस्प सवाल था जिस पर गुंथर जौच को काफी सोचना पड़ा: "एक संख्या हमेशा \(4\) से बिना शेषफल के विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या...?" - और यहीं पर आपको गणितीय रूप से सोचने की जरूरत है, न कि आकर्षक उत्तरों में उलझने की। क्योंकि "सम संख्या है", "इसमें एक \(0\) या "अंकों का योग \(4\) है" जैसे उत्तर पहली नजर में तर्कसंगत लगते हैं, लेकिन सही उत्तर हमारी दशमलव प्रणाली के एक सरल गुण में निहित है।
एक संख्या \(X\) \(4\) से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या \(4\) से विभाज्य हो। इसका प्रमाण दशमलव निरूपण से प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध होता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या \(X\)
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
लिखिए जहाँ \(X''\) अंतिम दो अंकों से बनी संख्या है, यानी \(0 \leq X'' < 100\) , और \(X'\) संख्या का पूर्ववर्ती भाग है।
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
लागू होता है, अनुसरण करता है
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
पहला योज्य \(25 \cdot 4 \cdot X'\) हमेशा \(4\) चाहे \(X'\) कुछ भी हो। इसलिए, \(X\) को \(4\) केवल \(X''\) प्रासंगिक है। औपचारिक रूप से व्यक्त किया गया:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
यह विशेष रूप से लागू होता है:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
जब भी किसी संख्या के मॉड्यूलो पर \(10\) की घात आती है, तो इसी तरह के विभाज्यता नियम लागू होते हैं। \(4\) महत्वपूर्ण कारक यह था कि \(100 \equiv 0 \pmod 4\) यह और भी दिलचस्प हो जाता है जब \(0\) के स्थान पर \(1\) या \(-1\) मान आते हैं।
इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण \(11\) से विभाज्यता है।
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
यदि यह सत्य है, तो मॉड्यूलो \(11\) के दशमलव संख्या के स्थानीय मान हमेशा \(1\) और \(-1\) के बीच वैकल्पिक रूप से आते हैं।
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
कोई संख्या \(11\) से तभी विभाज्य होती है जब उसके एकांतर अंकों का योग \(11\) से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, \(918082\) के मामले में ऐसा ही है।
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
और चूंकि \(-22\) \(11\) से विभाज्य है, इसलिए \(918082\) भी \(11\) से विभाज्य है।
इससे भी अधिक सुरुचिपूर्ण नियम \(7\) , \(11\) और \(13\) के लिए एक साथ लागू होता है। यह सत्य है कि
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
और इस तरह
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
यदि आप किसी संख्या को दाएं से बाएं तीन-तीन के समूहों में विभाजित करते हैं, तो आप इन समूहों को बारी-बारी से जोड़ और घटा सकते हैं।
\[
X = 123456789
\]
इसलिए, यदि कोई विचार करे
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
मूल संख्या का मॉड्यूलो \(7\) , \(11\) और \(13\) के साथ शेषफल \(456\) के बराबर है। इसलिए, एक बहुत बड़ी संख्या को काफी छोटी संख्या से बदला जा सकता है, जिससे इन तीनों संख्याओं से उसकी विभाज्यता में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
\(37\) से विभाज्यता का भी एक आश्चर्यजनक रूप से सुंदर रूप है।
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
इसपर लागू होता है
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
जब तीन-तीन के ब्लॉक \(37\) तो उन्हें सीधे जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
\[
99937
\]
योग
\[
99 + 937 = 1036.
\]
वहाँ
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
यदि \(99937\) , 37 से विभाज्य है, तो 99937 भी \(37\) से विभाज्य होगा।
ऐसे नियम शुरू में संख्यात्मक चालबाज़ी प्रतीत होते हैं, लेकिन अंततः ये उसी विचार के अनुप्रयोग मात्र हैं: दस की बड़ी घातों को संबंधित संख्या के मॉड्यूलो के सरल शेषफल से प्रतिस्थापित करना। यह एक बड़ी दशमलव संख्या को सर्वांगसमता से संबंधित एक सरल गणना में बदल देता है। यही कारण है कि ऐसे विभाज्यता नियम महज अंकगणितीय चालबाज़ी से कहीं अधिक हैं; वे मॉड्यूलो के शेषफल में कमी को दर्शाते हैं। \(10^k\): क्विज़ के प्रारूप में, वे छोटे संज्ञानात्मक जाल के रूप में दिखाई देते हैं, लेकिन सीधे संख्या सिद्धांत में एक आश्चर्यजनक रूप से सुरुचिपूर्ण विचार की ओर ले जाते हैं।