في الحلقة الأخيرة من برنامج "من سيربح المليون ؟"، طُرح سؤالٌ بسيطٌ وذكيٌّ استلزم تفكير غونتر ياوخ مليًّا: "يكون العدد قابلًا للقسمة على \(4\) دائمًا بدون باقٍ إذا كان مجموع رقميه الأخيرين يساوي...؟" – وهنا تحديدًا يجب التفكير رياضيًّا للحظة، بدلًا من الانجراف وراء الإجابات السطحية. فبينما تبدو إجابات مثل "زوجي" أو "يحتوي على \(0\) أو "مجموع أرقامه يساوي \(4\) " منطقيةً للوهلة الأولى، إلا أن الإجابة الصحيحة تكمن في خاصية بسيطة لنظامنا العشري.
يكون العدد \(X\) قابلاً للقسمة على \(4\) إذا وفقط إذا كان العدد المكون من آخر رقمين منه قابلاً للقسمة على \(4\) . ويستنتج البرهان مباشرةً من التمثيل العشري. يمكن تمثيل كل عدد طبيعي \(X\) بشكل فريد على الصورة
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
اكتب حيث يمثل \(X''\) العدد المكون من آخر رقمين، أي \(0 \leq X'' < 100\) ، و \(X'\) هو الجزء السابق من العدد.
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
ينطبق، يتبع
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
الحد الأول \(25 \cdot 4 \cdot X'\) يقبل القسمة دائمًا على \(4\) بغض النظر عن \(X'\) . لذلك، بالنسبة لبقية \(X\) عند قسمتها على \(4\) \(X''\) فقط هو المهم. ويمكن التعبير عن ذلك رسميًا:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
وينطبق هذا بشكل خاص:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
تظهر قواعد مماثلة للقسمة كلما أصبح باقي قسمة قوة العدد \(10\) على عدد ما بسيطًا للغاية. بالنسبة للقسمة على \(4\) كان العامل الحاسم هو أن \(100 \equiv 0 \pmod 4\) ويصبح الأمر أكثر إثارة للاهتمام عندما تظهر القيمتان \(1\) أو \(-1\) بدلًا من \(0\) .
ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك قابلية القسمة على \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
إذا كان هذا صحيحًا، فإن قيم المنازل للعدد العشري modulo \(11\) تتناوب دائمًا بين \(1\) و \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
وبالتالي، يترتب على ذلك
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
يكون العدد قابلاً للقسمة على \(11\) إذا وفقط إذا كان مجموع أرقامه المتناوبة قابلاً للقسمة على \(11\) بالنسبة للعدد \(918082\) على سبيل المثال، هذا هو الحال.
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
وبما أن \(-22\) يقبل القسمة على \(11\) ، \(918082\) يقبل القسمة أيضًا على \(11\) .
أما القاعدة الأكثر أناقة فهي تلك الخاصة \(7\) و \(11\) و \(13\) في آن واحد. وتنص على أن
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
وهكذا
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
إذا قمت بتقسيم عدد إلى مجموعات من ثلاثة من اليمين إلى اليسار، يمكنك بالتالي جمع وطرح هذه المجموعات بالتناوب.
\[
X = 123456789
\]
لذا، إذا أخذ المرء في الاعتبار
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
العدد الأصلي له نفس الباقي modulo \(7\) و \(11\) و \(13\) مثل \(456\) لذلك، يمكن استبدال عدد كبير جدًا بعدد أصغر بكثير دون تغيير قابليته للقسمة على هذه الأعداد الثلاثة.
كما أن قابلية القسمة على \(37\) لها شكل أنيق بشكل مدهش.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
ينطبق
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
عندما يكون العدد قابلاً للقسمة على \(37\) يمكن ببساطة جمع مجموعات الثلاثة معًا. على سبيل المثال، من
\[
99937
\]
المجموع
\[
99 + 937 = 1036.
\]
هناك
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
إذا كان \(99937\) قابلاً للقسمة على 37، فإن العدد 99937 قابل للقسمة على \(37\) أيضاً.
تبدو هذه القواعد في البداية وكأنها حيل حسابية، لكنها في النهاية مجرد تطبيقات لنفس الفكرة: استبدال قوى العشرة الكبيرة بباقي قسمة بسيط على العدد المعني. هذا يحوّل عددًا عشريًا كبيرًا إلى عملية حسابية بسيطة تتضمن التطابقات. ولهذا السبب تحديدًا، فإن قواعد قابلية القسمة هذه أكثر من مجرد حيل حسابية؛ فهي تمثل اختزالًا إلى باقي القسمة. \(10^k\): في شكل اختبار، تبدو هذه الأسئلة كفخاخ معرفية صغيرة، لكنها تؤدي مباشرة إلى فكرة أنيقة بشكل مدهش في نظرية الأعداد.