'হু ওয়ান্টস টু বি এ মিলিয়নেয়ার ?'-এর সাম্প্রতিক পর্বে একটি চমৎকার ছোট প্রশ্ন ছিল, যা নিয়ে গুন্টার জাওখকে স্পষ্টতই ভাবতে হয়েছিল: "একটি সংখ্যা সর্বদা \(4\) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে, যদি তার শেষ দুটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি হয়...?" – এবং ঠিক এখানেই আপনাকে সুন্দর আকর্ষণীয় তথ্যে প্রলুব্ধ না হয়ে, এক মুহূর্তের জন্য গাণিতিকভাবে ভাবতে হবে। কারণ যদিও "জোড় সংখ্যা", "সংখ্যাটিতে একটি \(0\) , বা "অঙ্কগুলোর যোগফল \(4\) " এর মতো উত্তরগুলো প্রথম নজরে বিশ্বাসযোগ্য মনে হয়, সঠিক উত্তরটি আমাদের দশমিক পদ্ধতির একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্যের মধ্যেই নিহিত।
একটি সংখ্যা \(X\) \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হয়। এর প্রমাণ সরাসরি দশমিক উপস্থাপনা থেকে পাওয়া যায়। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা \(X\) কে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যায়।
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
লেখো যেখানে \(X''\) হলো শেষ দুটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা, অর্থাৎ, \(0 \leq X'' < 100\) , এবং \(X'\) হলো সংখ্যাটির পূর্ববর্তী অংশ। যেহেতু
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
প্রযোজ্য, অনুসরণ করে
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
প্রথম যোগফল \(25 \cdot 4 \cdot X'\) সর্বদা \(4\) \(X'\) নির্বিশেষে। অতএব, \(4\) দ্বারা \(X\) কে ভাগ করলে প্রাপ্ত ভাগশেষের জন্য কেবল \(X''\) ই প্রাসঙ্গিক। আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করা হলো:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
এটি বিশেষ করে প্রযোজ্য:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
যখন কোনো সংখ্যার মডিউলোতে \(10\) এর কোনো ঘাত বিশেষভাবে সরল হয়ে ওঠে, তখন অনুরূপ বিভাজ্যতার নিয়মগুলো উদ্ভূত হয়। \(4\) গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি ছিল যে \(100 \equiv 0 \pmod 4\) বিষয়টি আরও আকর্ষণীয় হয়ে ওঠে যখন \(0\) এর পরিবর্তে \(1\) বা \(-1\) মানগুলো আসে।
একটি উৎকৃষ্ট উদাহরণ হলো \(11\) দ্বারা বিভাজ্যতা।
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
যদি এটি সত্য হয়, তবে \(11\) মডিউলোতে একটি দশমিক সংখ্যার স্থানীয় মান সর্বদা \(1\) এবং \(-1\) এর মধ্যে পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হয়।
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
অতএব এর ফলস্বরূপ
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
একটি সংখ্যা \(11\) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি সংখ্যাটির একান্তর অঙ্কগুলোর যোগফল \(11\) দ্বারা বিভাজ্য হয়। উদাহরণস্বরূপ \(918082\) ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য।
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
এবং যেহেতু \(-22\) \(11\) দ্বারা বিভাজ্য, \(918082\) ও \(11\) দ্বারা বিভাজ্য।
একই সাথে \(7\) , \(11\) এবং \(13\) এর জন্য নিয়মটি আরও মার্জিত। এটি সত্য যে
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
এবং এগুলো
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
যদি আপনি কোনো সংখ্যাকে ডান থেকে বামে তিনটি করে ব্লকে ভাগ করেন, তাহলে আপনি এই ব্লকগুলোকে পর্যায়ক্রমে যোগ ও বিয়োগ করতে পারবেন।
\[
X = 123456789
\]
সুতরাং, যদি কেউ বিবেচনা করে
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
মূল সংখ্যাটির \(7\) , \(11\) এবং \(13\) মডিউলোতে ভাগশেষ \(456\) এর ভাগশেষের সমান। সুতরাং, একটি খুব বড় সংখ্যাকে তার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট একটি সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপন করলেও এই তিনটি সংখ্যা দ্বারা এর বিভাজ্যতার কোনো পরিবর্তন হয় না।
\(37\) দ্বারা বিভাজ্যতারও একটি আশ্চর্যজনকভাবে মার্জিত রূপ রয়েছে। যেহেতু
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
প্রযোজ্য
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
যখন \(37\) তখন তিনটির ব্লকগুলিকে সহজেই একসাথে যোগ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ,
\[
99937
\]
যোগফল
\[
99 + 937 = 1036.
\]
সেখানে
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
যদি \(99937\) ৩৭ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে ৯৯৯৩৭-ও \(37\) দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এই ধরনের নিয়মগুলোকে প্রাথমিকভাবে সংখ্যাগত কৌশল বলে মনে হলেও, আদতে এগুলো একই ধারণার প্রয়োগ মাত্র: দশের বড় ঘাতগুলোকে উক্ত সংখ্যার মডিউলোতে সরল ভাগশেষ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা। এটি একটি বড় দশমিক সংখ্যাকে সর্বসমতা-সম্পর্কিত একটি সরল গণনায় রূপান্তরিত করে। ঠিক এই কারণেই এই ধরনের বিভাজ্যতার নিয়মগুলো নিছক পাটিগণিতিক কৌশলের চেয়েও বেশি কিছু; এগুলো ভাগশেষকে মডিউলোতে হ্রাস করার একটি প্রক্রিয়াকে উপস্থাপন করে। \(10^k\): কুইজ আকারে এগুলোকে ছোটখাটো জ্ঞানীয় ফাঁদ বলে মনে হলেও, এগুলো সরাসরি সংখ্যাতত্ত্বের একটি আশ্চর্যজনকভাবে চমৎকার ধারণার দিকে নিয়ে যায়।