最近の「クイズ・ミリオネア」のエピソードで、ギュンター・ヤウフが明らかに考えなければならなかった、ちょっとした面白い質問がありました。 「ある数が常に\(4\)で割り切れるのは、その数の下2桁から作られる数が…であるときです。」 ――そして、まさにここで、見た目の美しさに気を取られることなく、少しの間数学的に考える必要があるのです。なぜなら、「偶数である」「 \(0\) 「桁の合計が\(4\)である」といった答えは一見もっともらしく聞こえるかもしれませんが、正解は私たちの十進法の単純な性質にあるからです。
数\(X\)が\(4\)で割り切れるのは、その下 2 桁で構成される数が\(4\)で割り切れる場合のみである。証明は十進数表現から直接導かれる。すべての自然数\(X\)一意に次の形式で表すことができる。
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
ここで\(X''\)は最後の2桁から構成される数、つまり\(0 \leq X'' < 100\)であり、 \(X'\)はその数の前の部分です。
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
適用する、従う
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
最初の加数\(25 \cdot 4 \cdot X'\)は、 \(X'\)に関係なく常に\(4\)で割り切れます。したがって、 \(X\)を\(4\) \(X''\)のみが関係します。正式に表現すると:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
これは特に当てはまる:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
\(10\)べき乗を法とする数が特に単純になる場合、同様の割り算の規則が現れます。4 による割り算の場合\(4\)重要な要素は\(100 \equiv 0 \pmod 4\)でした。0 の代わりに\(1\)または\(-1\)値が現れると、さらに興味深い\(0\)になります。
典型的な例は、 \(11\)で割り切れるかどうかです。
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
これが正しい場合、 \(11\)を法とする小数の位の値は常に\(1\)と\(-1\)が交互に現れます。
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
したがって、
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
ある数が\(11\)で割り切れるのは、その数の2桁目の数字を交互に足し合わせたものが\(11\)で割り切れる場合のみである。例えば、 \(918082\)はこの条件を満たす。
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
そして、 \(-22\)は\(11\)で割り切れるので、 \(918082\)も\(11\)で割り切れます。
さらに優雅なのは\(7\) 、 \(11\) 、 \(13\)を同時に適用する規則である。それは、
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
したがって
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
数を右から左へ3つずつのブロックに分割すれば、これらのブロックを交互に足したり引いたりすることができます。
\[
X = 123456789
\]
したがって、もし考えるならば
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
元の数は、 \(7\) \(11\)法とした剰余が\(13\)と同じです\(456\)したがって、非常に大きな数を、これら3つの数による割り切れる性質を変えることなく、はるかに小さな数に置き換えることができます。
\(37\)による割り算も、驚くほど洗練された形で表せる。
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
適用する
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
\(37\) 3つのブロックを単純に足し合わせることができます。たとえば、
\[
99937
\]
合計
\[
99 + 937 = 1036.
\]
そこには
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
\(99937\)が37で割り切れるならば、99937も\(37\)で割り切れる。
このような規則は最初は数値的なトリックのように見えますが、究極的には同じ考え方の応用です。つまり、10の大きなべき乗を、問題の数を法とする単純な剰余に置き換えるということです。これにより、大きな小数が合同式を含む単純な計算に変換されます。まさにこれが、このような割り算の規則が単なる算術的なトリック以上のものとなる理由です。それらは、剰余への還元を表しています。 \(10^k\): クイズ形式では、それらは小さな認知的な罠のように見えるが、実際には数論における驚くほど洗練されたアイデアに直接つながる。