Dans le récent épisode de « Qui veut gagner des millions ? », une question intéressante a visiblement donné du fil à retordre à Günther Jauch : « Un nombre est toujours divisible par \(4\) sans reste si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est… ? » – et c'est précisément là qu'il faut raisonner mathématiquement, sans se laisser distraire par les apparences. Car si des réponses comme « est pair », « contient un \(0\) ou « la somme des chiffres est \(4\) » semblent plausibles au premier abord, la bonne réponse réside dans une propriété simple du système décimal.
Un nombre \(X\) est divisible par \(4\) si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\) . La démonstration découle directement de sa représentation décimale. Tout nombre naturel \(X\) peut être représenté de manière unique sous la forme
\[
X = 100 \cdot X' + X''
\]
Écrivez où \(X''\) est le nombre formé par les deux derniers chiffres, c'est-à-dire \(0 \leq X'' < 100\) , et \(X'\) est la partie précédente du nombre.
\[
100 = 25 \cdot 4
\]
s'applique, suit
\[
X = 25 \cdot 4 \cdot X' + X''.
\]
Le premier terme \(25 \cdot 4 \cdot X'\) est toujours divisible par \(4\) quelle que soit la valeur de \(X'\) . Par conséquent, pour le reste de la division de \(X\) par \(4\) seul \(X''\) est pertinent. Formellement exprimé:
\[
X \equiv X'' \pmod{4}.
\]
Cela s'applique en particulier:
\[
4 \mid X \iff 4 \mid X''.
\]
Des règles de divisibilité similaires apparaissent chaque fois qu'une puissance de \(10\) modulo un nombre devient particulièrement simple. Pour la divisibilité par \(4\) le facteur crucial était que \(100 \equiv 0 \pmod 4\) Cela devient encore plus intéressant lorsque les valeurs \(1\) ou \(-1\) apparaissent à la place de \(0\) .
Un exemple classique est la divisibilité par \(11\) .
\[
10 \equiv -1 \pmod{11}
\]
Si cela est vrai, les valeurs de position d'un nombre décimal modulo \(11\) alternent toujours entre \(1\) et \(-1\) .
\[
X = a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \dots
\]
Il s'ensuit donc
\[
X \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}.
\]
Un nombre est divisible par \(11\) si et seulement si la somme de ses chiffres en alternance est divisible par \(11\) C'est le cas, par exemple, de \(918082\) .
\[
2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22,
\]
et puisque \(-22\) est divisible par \(11\) , \(918082\) est également divisible par \(11\) .
La règle concernant \(7\) , \(11\) et \(13\) simultanément est encore plus élégante. Elle stipule que
\[
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
\]
Et ainsi
\[
1000 \equiv -1 \pmod{7}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad
1000 \equiv -1 \pmod{13}.
\]
Si vous divisez un nombre en blocs de trois de droite à gauche, vous pouvez donc additionner et soustraire ces blocs alternativement.
\[
X = 123456789
\]
Donc, si l'on considère
\[
789 - 456 + 123 = 456.
\]
Le nombre d'origine a le même reste modulo \(7\) , \(11\) et \(13\) que \(456\) Par conséquent, un très grand nombre peut être remplacé par un nombre significativement plus petit sans modifier sa divisibilité par ces trois nombres.
La divisibilité par \(37\) présente également une forme étonnamment élégante.
\[
999 = 27 \cdot 37
\]
s'applique
\[
1000 \equiv 1 \pmod{37}.
\]
Lorsque le nombre est divisible par \(37\) les blocs de trois peuvent simplement être additionnés. Par exemple, à partir de
\[
99937
\]
la somme
\[
99 + 937 = 1036.
\]
Là
\[
1036 = 28 \cdot 37
\]
Si \(99937\) est divisible par 37, alors 99937 est également divisible par \(37\) .
Ces règles peuvent sembler au premier abord être des astuces numériques, mais elles ne sont en réalité que des applications d'une même idée : remplacer les grandes puissances de dix par de simples restes modulo le nombre en question. Cela transforme un grand nombre décimal en un calcul simple faisant intervenir des congruences. C'est précisément pourquoi ces règles de divisibilité sont plus que de simples astuces arithmétiques ; elles représentent une réduction aux restes modulo. \(10^k\): Sous forme de quiz, elles apparaissent comme de petits pièges cognitifs, mais mènent directement à une idée étonnamment élégante en théorie des nombres.