Disa probleme matematikore formulohen aq thjesht sa mund t'i shpjegohen një fëmije, por aq të vështira saqë zënë breza të tërë matematikanësh. Një problem i tillë është i ashtuquajturi problemi i distancës njësi: Vendosni \(n\) pika në plan. Sa çifte pikash mund të kenë atëherë një distancë prej saktësisht \(1\) ? Problemi daton që nga koha e Paul Erdős dhe është studiuar që nga viti 1946. OpenAI tani ka publikuar se një model i brendshëm ka hedhur poshtë një supozim të mbajtur prej kohësh në lidhje me këtë problem.
Në shikim të parë, pyetja tingëllon e padëmshme. Nëse vendosni pikat \(n\) në një vijë të drejtë, merrni afërsisht \(n-1\) intervale me gjatësi \(1\) . Nëse i rregulloni pikat si një rrjetë, si në letër milimetrike, merrni dukshëm më shumë nga këto intervale: horizontalisht dhe vertikalisht midis pikave ngjitur. Erdős kishte gjetur tashmë konstruksione që ishin disi më të mira se lineare. Megjithatë, për një kohë të gjatë besohej se kjo nuk mund të përmirësohej ndjeshëm. Formalisht, supozimi ishte se numri maksimal i intervaleve të tilla njësi rritet vetëm afërsisht \(n^{1+o(1)}\) , domethënë, disi më shpejt se \(n\) , por jo me një eksponent shtesë të fiksuar.
Kjo është pikërisht pika surprizuese: Modeli OpenAI (i cili nuk u zbulua) ndërtoi jo vetëm një kundërshembull të vetëm, por një familje të pafundme të bashkësive të pikave \(P\) për të cilat numri i distancave njësi është të paktën \(|P|^{1+\delta}\) , me një \(\delta>0\) fikse. Një përsosje e mëvonshme nga Will Sawin, sipas OpenAI, jep madje \(\delta=0{,}014\) . Kjo tingëllon e vogël, por është matematikisht e madhe: Nuk është më një mbetje logaritmike, por një fitim i vërtetë polinomial.
Një shembull i thjeshtë ilustron idenë themelore. Le të shqyrtojmë numrin kompleks
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Ky numër ka një vlerë absolute prej \(1\) , sepse
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Prandaj, nëse \(x\) është një pikë në plan, atëherë \(x\) dhe \(x+u\) janë saktësisht \(1\) larg njëra-tjetrës. Në mënyrë specifike, për shembull, pikat ndodhen në...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
saktësisht një njësi larg. Një shprehje teorike numrash jep kështu një drejtim gjeometrik me gjatësi \(1\) . Kjo nuk është ende kundërprova e madhe, por është versioni i vogël i trukut: nuk kërkohen vetëm distancat njësi horizontale dhe vertikale si në rrjet, por edhe shumë drejtime të gjeneruara aritmetikisht, të cilat të gjitha kanë saktësisht gjatësinë \(1\) .
Ndërtimi aktual përdor mjete dukshëm më të fuqishme. Në vend që të punojë vetëm me numrat e plotë Gaussianë \(\mathbb{Z}[i]\) , prova përdor fusha më të ndërlikuara algjebrike të numrave \(K=L(i)\) . Atje, shumë elementë të formës
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
të ndërtuara, ku \(c\) luan rolin e konjugimit kompleks. Efekti vendimtar është: midis ngulitjeve komplekse përkatëse, këto \(u\) secila ka një madhësi prej \(1\) . Prandaj, ato janë kandidate për shumë drejtime të ndryshme njësie.
Në terma shumë të përafërt, një kundërshembull i vërtetë nuk duket si një figurë e vogël dhe e bukur me dhjetë pika, por më tepër si një tufë e madhe pikash e ndërtuar aritmetikisht. Merr një rrjetë me dimensione të larta, pret pika të përshtatshme prej saj dhe pastaj i projekton këto përsëri në planin e zakonshëm. Në notacionin e provës, kjo shprehet përafërsisht në formën...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Me fjalë të tjera: Merren pika nga një rrjetë e zhvendosur \(y+\Lambda_j\) , kufizohen ato nga një rajon \(W\) dhe projektohen me \(\pi_1\) në një koordinatë komplekse, d.m.th., në \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Shumë ndryshime midis këtyre pikave janë atëherë pikërisht elementë të tillë \(u\) me madhësi \(1\) . Prandaj, pas projeksionit, ato bëhen distanca të vërteta njësie në plan.
Një analogji vizuale është kjo: Rrjeta standarde përdor disa drejtime të thjeshta, të tilla si djathtas, majtas, lart dhe poshtë. Ndërtimi i ri, megjithatë, gjeneron një numër të madh drejtimesh të fshehura që rrjedhin nga teoria algjebrike e numrave. Çdo drejtim është saktësisht një njësi e gjatë. Meqenëse ka kaq shumë drejtime të tilla dhe shumë pika korrespondojnë me to, distancat totale të njësive janë më të mëdha nga sa do të lejonte supozimi i vjetër.
Vlen gjithashtu të përmendet se nga vjen prova. Sipas OpenAI, zgjidhja u gjet në mënyrë autonome nga një model arsyetimi i përgjithshëm, jo nga një sistem matematik i trajnuar posaçërisht për këtë problem. Prova më pas u shqyrtua nga brenda dhe nga jashtë dhe u përkthye në një formë të lexueshme nga njeriu. Shënimet shoqëruese nga matematikanët e jashtëm theksojnë gjithashtu se ky nuk është vetëm një version i automatizuar i një metode të njohur, por një lidhje e papritur midis gjeometrisë diskrete dhe teorisë algjebrike të numrave.
Kjo është ndoshta arsyeja e vërtetë pse ky rezultat është kaq interesant. Nuk ka të bëjë vetëm me një inteligjencë artificiale që zgjidh një problem në mënyrë korrekte. Ka të bëjë me gjetjen e një mënyre që nuk ishte e qartë për shumë njerëz: trajtimin e një problemi gjeometrik në lidhje me distancat në një plan me mjete të thella nga teoria e numrave. Kjo nuk e bën matematikën më pak njerëzore. Por i jep asaj një kundërshtar të ri, mjaft të fuqishëm në mënyrë të pakëndshme.