Beberapa masalah matematika dirumuskan begitu sederhana sehingga dapat dijelaskan kepada seorang anak, namun juga begitu sulit sehingga membutuhkan waktu bergenerasi-generasi matematikawan untuk menyelesaikannya. Salah satu masalah tersebut adalah apa yang disebut masalah jarak satuan: Tempatkan \(n\) titik pada bidang datar. Berapa banyak pasangan titik yang kemudian dapat memiliki jarak tepat \(1\) ? Masalah ini berasal dari Paul Erdős dan telah dipelajari sejak tahun 1946. OpenAI kini telah menerbitkan bahwa sebuah model internal telah membantah dugaan yang telah lama dipegang tentang masalah ini.
Sekilas, pertanyaan ini terdengar tidak berbahaya. Jika Anda menempatkan \(n\) titik pada garis lurus, Anda akan mendapatkan sekitar \(n-1\) interval dengan panjang \(1\) . Jika Anda menyusun titik-titik tersebut sebagai kisi-kisi, seperti pada kertas grafik, Anda akan mendapatkan interval yang jauh lebih banyak: secara horizontal dan vertikal antara titik-titik yang berdekatan. Erdős telah menemukan konstruksi yang sedikit lebih baik daripada linear. Namun, untuk waktu yang lama, diyakini bahwa hal ini tidak dapat ditingkatkan secara signifikan. Secara formal, asumsinya adalah bahwa jumlah maksimum interval satuan tersebut hanya tumbuh sekitar \(n^{1+o(1)}\) , yaitu, sedikit lebih cepat daripada \(n\) , tetapi tidak dengan eksponen tambahan yang tetap.
Justru inilah poin yang mengejutkan: Model OpenAI (yang mana, tidak diungkapkan) tidak hanya membangun satu contoh tandingan, tetapi keluarga tak terbatas dari himpunan titik \(P\) di mana jumlah jarak satuan setidaknya \(|P|^{1+\delta}\) , dengan \(\delta>0\) tetap. Penyempurnaan selanjutnya oleh Will Sawin, menurut OpenAI, bahkan menghasilkan \(\delta=0{,}014\) . Ini terdengar kecil, tetapi secara matematis sangat besar: Ini bukan lagi sisa logaritmik, tetapi keuntungan polinomial yang sebenarnya.
Sebuah contoh sederhana mengilustrasikan ide dasarnya. Mari kita pertimbangkan bilangan kompleks.
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Angka ini memiliki nilai mutlak \(1\) , karena
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Oleh karena itu, jika \(x\) adalah sebuah titik di bidang datar, maka \(x\) dan \(x+u\) berjarak tepat \(1\) . Secara spesifik, misalnya, titik-titik tersebut terletak di...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
tepat satu satuan terpisah. Ekspresi teori bilangan dengan demikian menghasilkan arah geometris dengan panjang \(1\) . Ini belum merupakan bukti tandingan yang besar, tetapi ini adalah versi kecil dari triknya: kita tidak hanya mencari jarak satuan horizontal dan vertikal seperti pada grid, tetapi juga banyak arah yang dihasilkan secara aritmetika, yang semuanya memiliki panjang tepat \(1\) .
Konstruksi sebenarnya menggunakan alat yang jauh lebih ampuh. Alih-alih hanya bekerja dengan bilangan bulat Gaussian \(\mathbb{Z}[i]\) , pembuktiannya menggunakan medan bilangan aljabar yang lebih rumit \(K=L(i)\) . Di sana, banyak elemen berbentuk
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
dibangun, di mana \(c\) berperan sebagai konjugasi kompleks. Efek krusialnya adalah: di antara penyematan kompleks yang relevan, \(u\) ini masing-masing memiliki besaran \(1\) . Oleh karena itu, mereka merupakan kandidat untuk banyak arah satuan yang berbeda.
Secara kasar, contoh tandingan nyata tidak terlihat seperti gambar kecil dan cantik dengan sepuluh titik, melainkan seperti sekumpulan titik besar yang dibangun secara aritmatika. Anda mengambil kotak berdimensi tinggi, memotong titik-titik yang sesuai, lalu memproyeksikannya kembali ke bidang biasa. Dalam notasi pembuktiannya kira-kira berbentuk
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Jadi: Anda mengambil titik-titik dari kisi yang digeser \(y+\Lambda_j\) , membatasinya berdasarkan suatu wilayah \(W\) dan memproyeksikannya dengan \(\pi_1\) ke koordinat yang kompleks, yaitu ke \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Banyak perbedaan antara titik-titik ini yang merupakan elemen \(u\) dengan besaran \(1\) . Oleh karena itu, setelah diproyeksikan, jarak tersebut menjadi satuan jarak sebenarnya di bidang tersebut.
Analogi visualnya adalah sebagai berikut: Kisi standar menggunakan beberapa arah sederhana, seperti kanan, kiri, atas, dan bawah. Namun, konstruksi baru ini menghasilkan sejumlah besar arah tersembunyi yang berasal dari teori bilangan aljabar. Setiap arah memiliki panjang tepat satu satuan. Karena ada begitu banyak arah dan banyak titik yang sesuai dengannya, total jarak satuan lebih besar daripada yang diperkirakan oleh dugaan lama.
Patut juga dicatat dari mana bukti tersebut berasal. Menurut OpenAI, solusi tersebut ditemukan secara otomatis oleh model penalaran umum, bukan oleh sistem matematika yang secara khusus dilatih untuk masalah ini. Bukti tersebut kemudian ditinjau secara internal dan eksternal dan diubah menjadi bentuk yang mudah dibaca manusia. Catatan yang menyertainya dari para matematikawan eksternal juga menekankan bahwa ini bukan hanya versi otomatis dari metode yang sudah dikenal, tetapi juga hubungan yang tak terduga antara geometri diskrit dan teori bilangan aljabar.
Ini mungkin alasan sebenarnya mengapa hasil ini sangat menarik. Ini bukan hanya tentang AI yang memecahkan masalah dengan benar. Ini tentang menemukan cara yang tidak jelas bagi banyak orang: mengatasi masalah geometris tentang jarak di bidang datar dengan alat-alat canggih dari teori bilangan. Ini tidak membuat matematika menjadi kurang manusiawi. Tetapi ini memberinya lawan baru yang cukup kuat dan mengkhawatirkan.