Деякі математичні задачі формулюються настільки просто, що їх можна пояснити дитині, але водночас вони настільки складні, що займають цілі покоління математиків. Однією з таких задач є так звана задача одиничної відстані: розмістити \(n\) точок на площині. Скільки пар точок можуть мати відстань рівно \(1\) ? Ця задача сягає корінням Пауля Ердеша та вивчається з 1946 року. OpenAI тепер опублікував, що внутрішня модель спростувала давню гіпотезу щодо цієї проблеми.
На перший погляд, питання звучить нешкідливо. Якщо розмістити \(n\) точок на прямій лінії, то отримаємо приблизно \(n-1\) інтервалів довжиною \(1\) . Якщо розташувати точки у вигляді сітки, як на міліметровому папері, то отримаємо значно більше таких інтервалів: горизонтально та вертикально між сусідніми точками. Ердеш уже знайшов конструкції, які були дещо кращими за лінійні. Однак довгий час вважалося, що це неможливо суттєво покращити. Формально припускалося, що максимальна кількість таких одиничних інтервалів зростає лише приблизно \(n^{1+o(1)}\) , тобто дещо швидше, ніж \(n\) , але не з фіксованим додатковим показником.
Саме в цьому полягає дивовижний момент: модель OpenAI (яка саме, не розкривається) побудувала не просто один контрприклад, а нескінченну сім'ю множин точок \(P\) для яких кількість одиничних відстаней щонайменше \(|P|^{1+\delta}\) з фіксованим \(\delta>0\) . Пізніше уточнення Віллом Савіном, згідно з OpenAI, навіть дає \(\delta=0{,}014\) . Це звучить мало, але математично величезно: це вже не логарифмічний залишок, а справжній поліноміальний приріст.
Простий приклад ілюструє основну ідею. Розглянемо комплексне число
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Це число має абсолютне значення \(1\) , оскільки
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Отже, якщо \(x\) — це точка на площині, то \(x\) та \(x+u\) знаходяться на відстані точно \(1\) . Зокрема, наприклад, точки розташовані в...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
рівно на одну одиницю відстані. Таким чином, теоретико-числовий вираз дає геометричний напрямок довжиною \(1\) . Це ще не грандіозний контрдоказ, але це зменшена версія трюку: потрібно шукати не лише горизонтальні та вертикальні одиничні відстані, як у сітці, але й багато арифметично згенерованих напрямків, усі з яких мають рівну довжину \(1\) .
У фактичній побудові використовуються значно потужніші інструменти. Замість роботи лише з гаусовими цілими числами \(\mathbb{Z}[i]\) , у доведенні використовуються складніші алгебраїчні числові поля \(K=L(i)\) . Там багато елементів виду
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
побудовано, де \(c\) відіграє роль комплексного спряження. Вирішальним ефектом є те, що серед відповідних комплексних вбудовувань ці \(u\) мають величину \(1\) . Тому вони є кандидатами на багато різних одиничних напрямків.
Грубо кажучи, справжній контрприклад виглядає не як маленька гарна картинка з десятьма крапками, а радше як величезний, арифметично побудований рій крапок. Ви берете багатовимірну сітку, вирізаєте з неї відповідні точки, а потім проектуєте їх назад на звичайну площину. У нотації доведення це виражається приблизно у вигляді...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Іншими словами: точки береться зі зміщеної сітки \(y+\Lambda_j\) , обмежується областю \(W\) та проектується з допомогою \(\pi_1\) на комплексну координату, тобто на \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Багато відмінностей між цими точками є саме такими \(u\) елементами з величиною \(1\) Тому після проектування вони стають справжніми одиничними відстанями на площині.
Візуальна аналогія така: стандартна сітка використовує кілька простих напрямків, таких як праворуч, ліворуч, вгору та вниз. Однак нова конструкція генерує величезну кількість прихованих напрямків, отриманих з алгебраїчної теорії чисел. Кожен напрямок має рівно одну одиницю довжини. Оскільки таких напрямків так багато, і їм відповідає багато точок, загальні одиничні відстані більші, ніж дозволяла стара гіпотеза.
Також варто зазначити, звідки взято доказ. Згідно з OpenAI, рішення було знайдено автономно за допомогою загальної моделі міркувань, а не математичної системи, спеціально навченої для цієї проблеми. Потім доказ було перевірено внутрішньо та зовнішньо та переведено у форму, зрозумілу для людини. У супровідних примітках від зовнішніх математиків також підкреслюється, що це не просто автоматизована версія відомого методу, а неочікуваний зв'язок між дискретною геометрією та алгебраїчною теорією чисел.
Ймовірно, саме тому цей результат такий цікавий. Йдеться не лише про те, що штучний інтелект правильно вирішує задачу. Йдеться про те, що він знайшов спосіб, який був неочевидним для багатьох людей: вирішення геометричної задачі про відстані на площині за допомогою глибоких інструментів теорії чисел. Це не робить математику менш людяною. Але це дає їй нового, досить незручно потужного суперника.