Unele probleme matematice sunt formulate atât de simplu încât pot fi explicate unui copil, însă atât de dificile încât ocupă generații întregi de matematicieni. O astfel de problemă este așa-numita problemă a distanței unitare: Plasați \(n\) puncte în plan. Câte perechi de puncte pot avea atunci o distanță de exact \(1\) ? Problema datează din vremea lui Paul Erdős și este studiată din 1946. OpenAI a publicat acum că un model intern a infirmat o conjectură de mult timp despre această problemă.
La prima vedere, întrebarea pare inofensivă. Dacă plasați \(n\) puncte pe o linie dreaptă, obțineți aproximativ \(n-1\) intervale de lungime \(1\) . Dacă aranjați punctele sub formă de grilă, ca pe hârtie milimetrică, obțineți semnificativ mai multe astfel de intervale: pe orizontală și pe verticală între punctele adiacente. Erdős găsise deja construcții care erau ceva mai bune decât cele liniare. Multă vreme, însă, s-a crezut că acest lucru nu putea fi îmbunătățit semnificativ. Formal, se presupunea că numărul maxim de astfel de intervale unitare crește doar aproximativ \(n^{1+o(1)}\) , adică ceva mai rapid decât \(n\) , dar nu cu un exponent suplimentar fix.
Tocmai acesta este punctul surprinzător: modelul OpenAI (care nu a fost dezvăluit) a construit nu doar un singur contraexemplu, ci o familie infinită de mulțimi de puncte \(P\) pentru care numărul de distanțe unitare este cel puțin \(|P|^{1+\delta}\) , cu un \(\delta>0\) fix. O rafinare ulterioară realizată de Will Sawin, conform OpenAI, produce chiar și \(\delta=0{,}014\) . Acest lucru pare mic, dar este matematic enorm: nu mai este un rest logaritmic, ci un adevărat câștig polinomial.
Un exemplu simplu ilustrează ideea de bază. Să luăm în considerare numărul complex
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Acest număr are valoarea absolută \(1\) , deoarece
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Prin urmare, dacă \(x\) este un punct în plan, atunci \(x\) și \(x+u\) sunt exact la \(1\) distanță. Mai exact, de exemplu, punctele sunt situate la...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
exact la o unitate distanță. O expresie teoretică a numerelor produce astfel o direcție geometrică de lungime \(1\) . Aceasta nu este încă marea contra-demonstrație, dar este versiunea redusă a trucului: nu se caută doar distanțe unitare orizontale și verticale ca în grilă, ci mai multe direcții generate aritmetic, toate având exact lungimea \(1\) .
Construcția propriu-zisă folosește instrumente semnificativ mai puternice. În loc să lucreze doar cu numere întregi gaussiene \(\mathbb{Z}[i]\) , demonstrația folosește câmpuri de numere algebrice mai complicate \(K=L(i)\) . Acolo, multe elemente de forma
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
construit, unde \(c\) joacă rolul de conjugare complexă. Efectul crucial este: printre încorporările complexe relevante, acestea \(u\) au fiecare o magnitudine de \(1\) . Prin urmare, ele sunt candidate pentru multe direcții unitare diferite.
În termeni foarte generali, un contraexemplu adevărat nu arată ca o imagine mică și frumoasă cu zece puncte, ci mai degrabă ca un roi imens de puncte construit aritmetic. Luați o grilă de dimensiuni mari, decupați puncte potrivite din ea și apoi le proiectați înapoi pe planul obișnuit. În notația demonstrativă, acest lucru este exprimat aproximativ sub forma...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Cu alte cuvinte: se iau puncte dintr-o grilă deplasată \(y+\Lambda_j\) , se restricționează printr-o regiune \(W\) și se proiectează cu \(\pi_1\) pe o coordonată complexă, adică pe \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Multe diferențe dintre aceste puncte sunt atunci tocmai astfel de elemente \(u\) cu magnitudine \(1\) . Prin urmare, după proiecție, ele devin distanțe unitare reale în plan.
O analogie vizuală este următoarea: grila standard folosește câteva direcții simple, cum ar fi dreapta, stânga, sus și jos. Noua construcție, însă, generează un număr vast de direcții ascunse derivate din teoria numerelor algebrice. Fiecare direcție are exact o unitate de lungime. Deoarece există atât de multe astfel de direcții și le corespund multe puncte, distanțele unitare totale sunt mai mari decât permitea vechea conjectură.
De asemenea, este demn de remarcat sursa demonstrației. Conform OpenAI, soluția a fost găsită autonom printr-un model general de raționament, nu printr-un sistem matematic antrenat special pentru această problemă. Demonstrația a fost apoi revizuită intern și extern și redată într-o formă lizibilă de către om. Notele însoțitoare de la matematicieni externi subliniază, de asemenea, că aceasta nu este doar o versiune automată a unei metode cunoscute, ci o conexiune neașteptată între geometria discretă și teoria numerelor algebrice.
Acesta este probabil adevăratul motiv pentru care acest rezultat este atât de interesant. Nu este vorba doar despre o inteligență artificială care rezolvă corect o problemă. Este vorba despre găsirea unei modalități care nu era evidentă pentru mulți oameni: abordarea unei probleme geometrice despre distanțele într-un plan cu instrumente complexe din teoria numerelor. Acest lucru nu face matematica mai puțin umană. Dar îi oferă un nou adversar, destul de inconfortabil de puternic.