有些数学问题表述得非常简单，连孩子都能理解，但却极其复杂，耗费了几代数学家的时间。单位距离问题就是其中之一：在平面上放置\(n\)个点，有多少对点之间的距离恰好为\(1\) ？这个问题可以追溯到保罗·埃尔德什，自 1946 年以来一直有人研究。OpenAI 近日宣布，其内部模型已经推翻了关于此问题的一项长期猜想。
乍一看，这个问题似乎无害。如果在一条直线上放置\(n\)个点，大约会得到\(n-1\)个长度为\(1\)的区间。如果将这些点排列成网格状，例如在方格纸上，则会得到更多这样的区间：相邻点之间水平和垂直方向的区间都会显著增加。埃尔德什已经找到了一些比线性排列略好的方法。然而，长期以来，人们认为这种方法无法显著改进。形式上，人们假设这种单位区间的最大数量仅以约\(n^{1+o(1)}\)速度增长，也就是说，比\(n\)略快，但并非以固定的附加指数增长。
这正是令人惊讶之处：OpenAI 的模型（具体是哪个模型并未公开）不仅构建了一个反例，而是构建了一个无限的点集族\(P\) ，使得单位距离的数量至少为\(|P|^{1+\delta}\) ，其中\(\delta>0\)为固定值。据 OpenAI 称，Will Sawin 后来的改进甚至达到了\(\delta=0{,}014\) 。这听起来很小，但在数学上却意义重大：它不再是对数余数，而是真正的多项式增益。
一个简单的例子可以说明基本概念。我们来考虑复数。
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
这个数的绝对值是\(1\) ，因为
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
因此，如果\(x\)是平面上的一个点，那么\(x\)和\(x+u\)之间的距离恰好为\(1\) 。具体来说，例如，这两个点位于……
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
恰好相隔一个单位。由此，一个数论表达式得出长度为\(1\)的几何方向。这还不是完整的反证，但却是该技巧的简化版本：不仅要像网格中那样寻找水平和垂直的单位距离，还要寻找许多算术生成的方向，所有这些方向的长度都恰好为\(1\) 。
实际构造使用了更强大的工具。证明过程并非仅使用高斯整数\(\mathbb{Z}[i]\) ，而是使用了更复杂的代数数域\(K=L(i)\) 。其中，存在许多形如 的元素。
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
构造中， \(c\)扮演着复共轭的角色。关键在于：在相关的复嵌入中，这些\(u\)的量级均为\(1\) 。因此，它们可以作为许多不同单位方向的候选对象。
简单来说，一个真正的反例并非像一幅由十个点组成的小巧精美的图画，而更像是一大片由算术构造的点群。你可以取一个高维网格，从中截取合适的点，然后将这些点投影回普通平面。用证明符号表示，这大致可以写成……
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
换句话说：从平移后的网格\(y+\Lambda_j\)中取点，将它们限制在区域\(W\)内，然后以\(\pi_1\)为投影系数将它们投影到复坐标系\(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\)上。这些点之间的许多差值恰好是大小为\(1\)的\(u\)元素。因此，投影后，它们就变成了平面上的真实单位距离。
一个直观的类比是这样的：标准网格只使用几个简单的方向，例如右、左、上、下。然而，新的构造方法却产生了大量源自代数数论的隐藏方向。每个方向的长度都恰好为一个单位。由于这样的方向数量众多，且每个方向对应的点也很多，因此总的单位距离比旧猜想所允许的要大。
值得注意的是，该证明的来源。据 OpenAI 称，该解决方案是由一个通用推理模型自主找到的，而非由专门针对此问题训练的数学系统找到的。该证明随后经过内部和外部审查，并被转化为人类可读的形式。外部数学家的注释也强调，这不仅仅是已知方法的自动化版本，而是离散几何和代数数论之间一种意想不到的联系。
这或许才是这项结果如此引人入胜的真正原因。它不仅仅在于人工智能正确解决了一个问题，更在于它找到了一种许多人意想不到的方法：运用数论中的深奥工具来解决平面上距离的几何问题。这丝毫不会降低数学的人类属性，但确实为数学带来了一个新的、相当强大的对手。