数学の問題の中には、子供にも説明できるほど単純に定式化されているにもかかわらず、何世代にもわたる数学者を悩ませるほど難しいものがある。そのような問題の一つが、いわゆる単位距離問題である。平面上に\(n\)個の点を配置したとき、距離がちょうど\(1\)になる点のペアはいくつあるか？この問題はポール・エルデシュに遡り、1946年から研究されてきた。OpenAIは今回、この問題に関する長年の予想を覆す内部モデルを開発したと発表した。
一見すると、この問題は無害に思える。直線上に\(n\)個の点を配置すると、長さ\(1\) \(n-1\) ) 個得られる。点を方眼紙のようにグリッド状に配置すれば、隣接する点間の水平方向と垂直方向の区間が大幅に増える。エルデシュはすでに、直線よりもいくらか優れた構成法を発見していた。しかし、長い間、これは大幅に改善できないと考えられていた。形式的には、このような単位区間の最大数は、およそ\(n^{1+o(1)}\)だけ増加する、つまり\(n\)よりいくらか速く増加するが、一定の指数が加わるわけではない、という仮定がなされていた。
まさにこれが驚くべき点です。OpenAI モデル (どのモデルかは明らかにされていません) は、単一の反例だけでなく、単位距離の数が少なくとも\(|P|^{1+\delta}\)である点集合\(P\)の無限族を構築しました。ただし、 \(\delta>0\)は固定されています。OpenAI によると、Will Sawin による後の改良では、 \(\delta=0{,}014\)値が得られました。これは小さく聞こえますが、数学的には非常に大きな値です。もはや対数剰余ではなく、真の多項式ゲインとなります。
簡単な例で基本的な考え方を説明しましょう。複素数を考えてみましょう。
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
この数値の絶対値は\(1\)です。
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
したがって、 \(x\)が平面上の点である場合、 \(x\)と\(x+u\)差はちょうど\(1\)である。具体的には、例えば、これらの点は...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ちょうど1単位離れている。したがって、数論的な式は長さ\(1\)の幾何学的方向を与える。これはまだ大反証ではないが、トリックの小さなバージョンである。グリッドのように水平方向と垂直方向の単位距離だけでなく、算術的に生成された多くの方向も探し、それらはすべて長さがちょうど\(1\)である。
実際の構成では、はるかに強力なツールが使用されます。ガウス整数\(\mathbb{Z}[i]\)だけを扱うのではなく、証明ではより複雑な代数的数体\(K=L(i)\)を使用します。そこでは、次の形式の多くの要素が存在します。
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
構築された\(c\)は複素共役の役割を果たします。重要な効果は次のとおりです。関連する複素埋め込みの中で、これらの\(u\)はそれぞれ\(1\)の大きさを持ちます。したがって、これらはさまざまな単位方向の候補となります。
非常に大まかに言えば、真の反例は、10個の点が描かれた小さくてきれいな絵のようなものではなく、むしろ算術的に構成された巨大な点の群れのようなものです。高次元のグリッドを用意し、そこから適切な点を切り出し、それらを通常の平面に投影します。証明記号では、これはおおよそ次のような形で表されます。
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
言い換えれば、シフトされたグリッド\(y+\Lambda_j\)から点を取り出し、領域\(W\)で制限し、 \(\pi_1\)で複素座標、すなわち\(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\)に投影します。これらの点間の多くの差は、まさに大きさ\(1\)の\(u\)要素です。したがって、投影後、それらは平面上で真の単位距離になります。
視覚的な例えとしては、標準的なグリッドでは、右、左、上、下といったいくつかの単純な方向が用いられます。しかし、新しい構造では、代数的整数論から導き出される膨大な数の隠れた方向が生成されます。それぞれの方向は正確に1単位の長さです。このような方向が非常に多く、それに対応する点も多数あるため、総単位距離は従来の予想よりも大きくなります。
また、証明の出所も注目に値する。OpenAIによると、この解法は、この問題のために特別に訓練された数学システムではなく、汎用的な推論モデルによって自律的に発見されたという。証明はその後、社内外で検証され、人間が読みやすい形式にまとめられた。外部の数学者による注釈では、これは既知の手法を自動化しただけのものではなく、離散幾何学と代数的整数論の間の予期せぬ関連性を示している点も強調されている。
おそらくこれが、この結果がこれほど興味深い真の理由だろう。単にAIが問題を正しく解いたというだけではない。多くの人にとって自明ではなかった方法、つまり平面上の距離に関する幾何学的な問題を、数論の高度なツールを用いて解いたという点にある。これは数学の人間性を少しも損なうものではない。しかし、数学にとって、新たな、そして少々厄介なほど強力な敵が現れたことは確かだ。